有子列Tx→y2∈Y,从而(T+T2)x→y+y2,故(7+72)(S)是相对紧的, T+T2∈C(x,) 至于aT∈C(X,Y)可类似证之 2°显然supr=M<o,由 Banach- Steinhaus定理,|r‖≤M.V>0,取n使得 当刀2时,一3 Tn(Sx)是相对紧集,从而是完全有界集,设y1…从是7n(Sx)的元网,则有 x1…,x∈Sx,y=Tnx(=1,…,k).我们证明Tx,…,Tx是T(Sx)的E网 实际上,Vx∈Sx,取y使得 x-y1=x-x|<5 则 Tx, -, -Tm,+x-T xl +T, x-txl |T-m+2+|7n-Tl|;|<E Y是完备的,T(Sx)是完全有界集从而是相对紧集,即T∈C(X,X) 3°当y是 Banach空间时,B(X,)是 Banach空间,由2°知,C(x,y)是B(X,y) 的闭线性子空间,故C(X,)本身是 Banach空间 定理5设X,y是线性赋范空间,T∈C(x,),则r∈C(XF) 证明设S2是X的单位球,S,是F的单位球,我们要证明T(S,)是X中的相 对紧集。由于X”是 Banach空间,只须证明r(S,)是完全有界集 vE>0,7(Sx)完全有界,故存在x1…,x∈Sx使得y=Tx(=1…,n)是T(Sx) 即x∈Sx,x使得 定义 a→°,a(y)=(y(y)…y(n),wer有子列 2' 2 k Tx y Y n → ∈ ，从而 ( ) 12 1 2 k T Tx y y n ′ + → + ，故 (TT S 1 2 + )( X ) 是相对紧的， T T C XY 1 2 + ∈ ( ) , . 至于α T C XY 1 ∈ ( ) , 可类似证之. 2°显然 1 sup n n T M ≥ = ∞ ＜ ，由 Banach－Steinhaus 定理， T M≤ .∀ε＞0，取 0 n 使得 当 0 n n ≥ 时， T T n ε − ＜ 3 . T S n X ( ) 是相对紧集，从而是完全有界集，设 1, , k y y " 是 T S n X ( ) 的 ε 3 网，则有 1, , k X x " x S ∈ ， i ni y Tx = ( ) i k =1, , " . 我们证明 1, , Tx Tx " k 是T S( X ) 的ε 网. 实际上， X ∀ ∈x S ，取 i y 使得 Tx y Tx Tx n i n ni ε −= − ＜ 3 . 则 Tx Tx Tx T x T x T x T x Tx i i ni ni n n −≤ − + − + − TT x T Tx ni n ε ≤ − ++ − 3 ＜ε . Y 是完备的，T S( ) X 是完全有界集从而是相对紧集，即T C XY ∈ ( , ) . 3° 当Y 是 Banach 空间时，B( X Y, ) 是 Banach 空间. 由２°知，C XY ( , ) 是 B( ) X Y, 的闭线性子空间，故C XY ( ) , 本身是 Banach 空间. 定理 5 设 X ,Y 是线性赋范空间，T C XY ∈ ( , ) ，则T CX Y ( , ) ∗ ∗ ∗ ∈ . 证 明 设 X S 是 X 的单位球， Y S ∗ 是Y∗ 的单位球，我们要证明 ( ) Y T S ∗ ∗ 是 X ∗ 中的相 对紧集。由于 X ∗ 是 Banach 空间，只须证明 ( ) Y T S ∗ ∗ 是完全有界集. ∀ε＞0，T S( ) X 完全有界，故存在 1, , n X x " x S ∈ 使得 i i y Tx = (i n =1, , " ) 是T S( ) X 的 ε 4 网，即 X ∀ ∈x S ， k ∃x 使得 Tx y Tx Tx k k ε −=− ＜ 4 . ( ) 4 定义 : n σ Y∗ → Φ ，σ ( ) y yy yy ( ( 1 ), , ( n )) ∗∗ ∗ = " ， y Y ∗ ∗ ∀ ∈