(r"x,y)=(Ax2)=(x",y Ay)=(Ax,y 故A”x=Ax,于是A”是A的保范延拓 下面让我们考察一类重要的算子——紧算子,它在积分方程论及数学物理等学科中具有 重要应用 定义2设X,}是线性赋范空间,T:X→>Y是线性算子 (1)称T是紧的,若T将X中的每个有界集映射为Y中的相对紧集 (2)称T是有限秩算子,若dmT(x)<∞ 容易知道,TX→Y是紧算子当且仅当T把单位球Sx映射为中的相对紧集 命题 (1)紧算子是有界算子 (2)有限秩有界算子是紧的.从而任何从有限维空间到有限维空间的线性算子是紧的 (3)设X,F,Z是线性赋范空间,A∈B(,2),B∈B(X),若A,B中有一个是紧 的,则AB是紧算子 证明1°相对紧集是有界集,故得(1) 2°对于X中的任一有界集E,T(E)是有界集,但Y是有限维空间的子集,故T(E) 相对紧,(2)成立 3°设Sx是X的单位球,若A是紧的,首先B(Sx)是y中的有界集,然后AB(Sx) 是Z中的相对紧集,于是AB是紧的若B是紧算子,首先B(Sx)是Y中的相对紧集,由 于A连续,A将B(Sx)中的收敛序列映射为AB(Sx)中的收敛序列,故AB是紧的 从X到Y中的紧算子的全体记为C(X,Y) 定理4 (1)若T72∈C(X,),则T+T2,aT∈C(x,1),(a∈Φ) (2)若y为 Banach空间,T∈C(X,)并且-T‖→0,则TeC(Xx,) (3)若y为 Banach空间,则C(X,Y)为 Banach空间。 证明1°设Sx为X的单位球,7(Sx)是Y中的相对紧集,对于其中任一无穷序列 x(x∈S),有子序列Tx→∈Y,又(S)为y中相对紧集,对于序列72(x)( )( ) A xy A x y x Ay , ,, ( ) ∗∗ ∗ ∗∗ ∗∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ = = ( ) x, , A y Ax y ( ) ∗∗ ∗ = = ， y Y ∗ ∗ ∀ ∈ 故 A x Ax ∗∗ = ，于是 A∗∗是 A 的保范延拓. 下面让我们考察一类重要的算子——紧算子，它在积分方程论及数学物理等学科中具有 重要应用. 定义 2 设 X ,Y 是线性赋范空间，TX Y : → 是线性算子． (1) 称T 是紧的，若T 将 X 中的每个有界集映射为Y 中的相对紧集. (2) 称T 是有限秩算子，若dimT X( )＜∞ . 容易知道，TX Y : → 是紧算子当且仅当T 把单位球 X S 映射为Y 中的相对紧集. 命 题 (1) 紧算子是有界算子. (2) 有限秩有界算子是紧的. 从而任何从有限维空间到有限维空间的线性算子是紧的. (3) 设 X , , Y Z 是线性赋范空间，A∈B(Y Z, ) ，B ∈B( X Y, ) ，若 A, B 中有一个是紧 的，则 AB 是紧算子. 证 明 1° 相对紧集是有界集，故得(1). 2° 对于 X 中的任一有界集 E ，T E( ) 是有界集，但Y 是有限维空间的子集，故T E( ) 相对紧，(2)成立. 3° 设 X S 是 X 的单位球，若 A 是紧的，首先 B S( X ) 是Y 中的有界集，然后 AB S( ) X 是 Z 中的相对紧集，于是 AB 是紧的. 若 B 是紧算子，首先 B S( X ) 是Y 中的相对紧集，由 于 A 连续， A 将 B S( X ) 中的收敛序列映射为 AB S( X ) 中的收敛序列，故 AB 是紧的. 从 X 到Y 中的紧算子的全体记为C XY ( , ) . 定理 4 (1) 若TT C XY 1 2 , , ∈ ( ) ，则T T T C XY 12 1 + ∈ , , α ( ) , (α ∈Φ) . (2) 若Y 为 Banach 空间，T C XY n ∈ ( , ) 并且 0 T T n − → ，则T C XY ∈ ( ) , . (3) 若Y 为 Banach 空间，则C XY ( , ) 为 Banach 空间。 证 明 1°设 X S 为 X 的单位球，T S 1 ( X ) 是Y 中的相对紧集，对于其中任一无穷序列 Tx x S 1 nn X ( ) ∈ ，有子序列 1 1 k Tx y Y n → ∈ ，又T S 2 ( X ) 为Y 中相对紧集，对于序列 2 ( ) k T xn