现在若T(4)→()是T的共轭算子,T与(2)对应,即 T"=∑b,(=1…,m) 则根据共轭算子的定义,应有 (re,)=(e,r*4),(1≤≤n1≤j≤m 实际验算可知 a T b b 所以b=a 即(b)是(a)的转置矩阵换句话说,一旦对偶基确定之后,从有限维空间到有限维 空间的线性算子,其共轭算子相应的矩阵是原算子相应矩阵的转置矩阵.在线性代数中我们 知道共轭矩阵在求解方程组或矩阵求逆中有重要作用,现在我们希望知道对于更一般的有 界线性算子其共轭算子的存在性和相关属性. 定理2(1)若X,Y,Z为线性赋范空间,A∈B(Y,Z),B∈B(X,Y) (AB)=BA (2)设与x分别为X与X中的单位算子,则(lx)=x 证明1°容易知道,AB∈B(Y,Z),故(AB)存在.Vx∈X,∈Z, (x(4B)÷)=(4Bx:)=(Bx,f-)=(x-) 故(AB)=B' 2°yx∈X,x'∈X”, (x(1)x)=(x)=(x)=(x1x) 故(x)=x 若T”:y·→>X是T:X→Y的共轭算子,记T”:X”→Y”是T”的共轭算子。 定理3设X,y是线性赋范空间,A∈B(X,1),则f“=4,x是A的保持范 数不变的延拓 证明由定理1知|=f1=4·比较A:x→y与”:x”→F”,由于 XcX”,即D(X)cD(X").对于x∈x,仍用x代表x”(=)∈X”,则现在若 :( ) () m n T ∗ ∗ ∗ Φ →Φ 是T 的共轭算子，T∗ 与(bij) 对应，即 1 n j jk k k T be µ∗ ∗ ∗ = = ∑ ，( j =1, , " m) 则根据共轭算子的定义，应有 ( )( ) , ,* Te e T ij i j µ µ ∗ ∗ = ，(1 ,1 ≤≤ ≤ ≤ in jm) 实际验算可知 ( ) 1 , , m i j is s j ij s Te a a µ µµ ∗ ∗ =   = =     ∑ , ( ) 1 , , n i j i jk k ji k eT e be b µ∗∗ ∗ =   = =     ∑ , 所以 ji ij b a = . 即(bij) 是( ) ij a 的转置矩阵. 换句话说，一旦对偶基确定之后，从有限维空间到有限维 空间的线性算子，其共轭算子相应的矩阵是原算子相应矩阵的转置矩阵. 在线性代数中我们 知道共轭矩阵在求解方程组或矩阵求逆中有重要作用， 现在我们希望知道对于更一般的有 界线性算子其共轭算子的存在性和相关属性. 定理 2 (1) 若 X , , Y Z 为线性赋范空间， A∈ B (Y Z, ) ， B ∈ B ( ) X Y, ， 则 ( ) AB BA ∗ ∗ ∗ = . (2) 设 XI 与 X I ∗ 分别为 X 与 X ∗ 中的单位算子，则( ) X X I I ∗ ∗ = . 证明 1° 容易知道， AB ∈B(Y Z, ) ，故( ) AB ∗ 存在. ∀ x X ∈ ， z Z ∗ ∗ ∈ ， ( ) x, ,, ( ) AB z ABx z Bx A z ( ) ( ) ∗ ∗ ∗ ∗∗ = = ( x, BAz ) ∗ ∗ ∗ = ， 故( ) AB BA ∗ ∗ ∗ = ． 2° ∀ x X ∈ ， x X ∗ ∗ ∈ ， ( ) , ,,, ( ) X X ( ) ( ) ( ) X x I x I xx xx xI x∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ = == ， 故( ) X X I I ∗ ∗ = . 若TY X : ∗∗ ∗ → 是TX Y : → 的共轭算子，记TX Y : ∗∗ ∗∗ ∗∗ → 是T∗ 的共轭算子。 定理 3 设 X ,Y 是线性赋范空间， A∈B( X Y, ) ，则 A A ∗∗ = ， A∗∗是 A 的保持范 数不变的延拓. 证明 由定理 1 知 A A A ∗∗ ∗ = = ．比较 AX Y : → 与 A : X Y ∗∗ ∗∗ ∗∗ → ，由于 X X ∗∗ ⊂ ，即 DX DX ( ) ( ) ∗∗ ⊂ ．对于 x X ∈ ，仍用 x 代表 x ( Jx X ) ∗∗ ∗∗ = ∈ ，则