于是彐5,n∈(a,b)使得 f(b)-2f( +bf(7) 例3设函数f(x)在a,b]上连续,在(ab)内二阶可导,则存在∈(a,b)使得 f(b)-2f(--)+f(a) f∫"(5) 分析本题可以利用柯西中值定理证明,设两个函数F,G为 x+a F(x)=f(x)-2f(-)+f(a),G(x)= 有F(a)=G(a)=0然后在[ab上对FG应用柯西中值定理,本题也可用拉格朗日中值 定理证明,下面分别给出两种证法。 证[证法一]设 x+a F(x)=f(x)-2f()+f(a),G(x)= (x-a)2 x∈[a,b] F(a)=Ga)=0,F(b)=f(b)-2b +f(a),G(b) F'(x)=f(x)-f(--),G(x)= x-a F(x),G(x)在[ab]上连续,在(ab)内可导,G(b)≠G(a),F'(x),G(x)不同时为零, 于是可以应用柯西中值定理,彐51∈(a,b),使得 F(b)-Fla) f(51)-f G(b)-G(a) (51-a) 再在+a,5cb上对(x)应用格朗日中值定理,3∈(5ta 2,5)c(a,b) 使得 f()-f(51+a)r()-f(y2-=f 51+a于是 ,  (a,b) 使得 ) 2 ( ) ( ) 2 (  a bf  f b f +   − 例 3 设函数 f (x)在[a,b] 上连续，在（a,b）内二阶可导，则存在   (a,b) 使得 ( ) 4 ( ) ) ( ) 2 ( ) 2 ( 2 f  b a f a a b f b f  − + = + − 分析 本题可以利用柯西中值定理证明，设两个函数 F，G 为 4 ( ) ) ( ), ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( 2 x a f a G x x a F x f x f − + = + = − 有 F(a) = G(a) = 0 然后在[a,b]上对 F,G 应用柯西中值定理，本题也可用拉格朗日中值 定理证明，下面分别给出两种证法。 证[证法一]设 , [ , ] 4 ( ) ) ( ), ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( 2 x a b x a f a G x x a F x f x f  − + = + = − 有 4 ( ) ( ), ( ) 2 ( ) ( ) 0, ( ) ( ) 2 ( 2 b a f a G b a b F a G a F b f b f − + = + = = = − 2 ), ( ) 2 ( ) ( ) ( x a G x x a F x f x f −  = +  =  −  F（x），G(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内可导， G(b)  G(a), F(x),G(x) 不同时为零， 于是可以应用柯西中值定理， ( , ) 1  a b ，使得 2 ( ) ) 2 ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 a a f f G b G a F b F a − +  −  = − −    再在 , ] [ , ] ( ) 2 [ 1 1 a b f x a   +  上对  应用格朗日中值定理， , ) ( , ) 2 ( 1 1 a b a  +      使得 ( ) 2 ) 2 ( ) ( 2 ) 2 ( ) ( 1 1 1 1 1 1 1        f a s a f f a a f f =  + − +  −  = − +  − 