于是有 a+ F(b)-2f(-)+f(a)= f∫"(5) 4 [证法二]作辅助函数 b a F(x)=fo )-f(x),x∈[a 于是 F(+6 )-F(a)=∫(b)-2na+b )+f(a) a+b 在1a,-2]上对F(x)应用拉格朗日中值定理,35(.2),使得 a+ F(a I( f'(1) 再在15,5+b~9(x)应用拉格朗日中值定理 (551+,)c(ab),使得 ∫(b)-2f(-)+f(b) ∫ 注所证等式在计算方法课程的差分格式中是一个基本公式 例4求下列极限 m r(s)0 (2)四(c)0,b)0 (3) I-No* hn x(a)o) 解(1)这是一型的不定式,应用洛必达法则,有 In →+ E-1x→E·x 0 (2)这是一型的不定式,当b为正整数时 应用洛必达法则后,有 bx bI x→ 当b为正实数时,x)1时有于是有 ( ) 4 ( ) ) ( ) 2 ( ) 2 ( 2 f  b a f a a b F b f  − + = + − [证法二]作辅助函数 ] 2 ) ( ), [ , 2 ( ) ( a b f x x a b a F x f x + −  − = + 于是 ) ( ) 2 ) ( ) ( ) 2 ( 2 ( f a a b F a f b f a b F + + − = − + 在 ] 2 [ , a b a + 上对 F(x) 应用拉格朗日中值定理， ) 2 ( , 1 a b a +   ，使得 ) ( ) 2 ( F a a b F − + = 2 ) ( )] 2 [ ( 1 1 b a f b a f − −  −   +  再 在 ] 2 [ , 1 1 b + a   + 上 对 f (x) 应用拉格朗日中值定理， ) ( , ) 2 ( 1 1 a b b a  −     + ，使得 ) ( ) 2 ( ) 2 ( f b a b f b f + + − = 4 ( ) ( ) 2 b a f −   注 所证等式在计算方法课程的差分格式中是一个基本公式 例 4 求下列极限： ( 0) ln (1) lim  →+   x x x (2) ( 0, 0) lim   →+ c b e x cx b x (3) ln ( 0) lim 0 +  →   x x x 解（1）这是   型的不定式，应用洛必达法则，有 0 1 1 ln lim 1 lim lim =  =  →+  = →+  − →+   x  x x x x x x x （2）这是   型的不定式，当 b 为正整数时，多次应用洛必达法则后，有 0 ! lim 2 1 lim lim = = = →+ = − →+ →+ cx x b cx b cx x b x c e b c e bx e x  当 b 为正实数时， x1 时有