x0+1 上面已证得 xb]+1 由函数极限的迫敛性可得 lim x In xEn x=x→o 注射器由(1)(2)可知:当a)1,p)0,E)0时,有 0 n"x<<x<<a2(x→>+∞) 这些结论在无穷大量的比较时有重要作用。 例5证明不等式 SIn ZD T 证x=时,不等式是成立的。当x∈(0,)时,设f(x)=x(1-x),g(x)=snm 在[0,x]上应用柯西中值定理,彐0(E(x,使得 x(1-x)x(1-x)-0 sinsin A-0 T COSTS 在上式中作变换1-22=y(0(y(1),作为 7 Z coS T8 r cos(-2g 利用不等式 (1,x∈(0,cx b cx b cx b e x e x e x 1 [ ] [ ] +   上面已证得 0 lim [ ] 1 [ ] lim = + →+ cx = x→+ cx b x e x b e x 由函数极限的迫敛性可得 0 lim →+ = cx b x e x （3） 0 1 1 1 ln ln lim 0 1 lim 0 lim 0 lim 0 = − = −  + = + = + → + + → → →       x x x x x x x x x x x 注射器 由（1）（2）可知：当 a1, p0, 0 时，有 0, 0 lim ln lim →+ = →+ =   a x x x e x p x 记为 p x x  x  a  ln (x → +) 这些结论在无穷大量的比较时有重要作用。 例 5 证明不等式 , (0,1) 1 sin (1 )   − x x x x   证 2 1 x = 时，不等式是成立的。当 ) 2 1 x  (0, 时，设 f (x) = x(1− x) ， g(x) = sin x ， 在 [0, x] 上应用柯西中值定理， 2 1  ,0 x ，使得       cos 1 2 sin 0 (1 ) 0 sin (1 ) − = − − − = − x x x x x x 在上式中作变换 1− 2 = y(0 y1) ，作为 2 2 2 sin 2 2 ) sin 2 2 cos( cos 1 2             = =  − = − y y y y y y 利用不等式 ) 2 1, (0, 2 sin     x  x x