线性常微分方程了幂级数解法( 第11页 以上的分析说明结当v=m,n=1,2,3,…时结 Bessel方第 dx2 r dr 的第二解也一定含有对数项结即 v2(x)=9J()lnx+∑dx-n,9≠0 原则上将y(x)代入Bese方第结即可定出系数 下面∝绍求 Bessel方第第二解的另一种方法.由此结先计算J(2)和J-(z)的 Wronski行列 式以分析它们的线对相关对.考虑到 Bessel方第的系数p(z)=1/z结从(9.3)式就可以得到 WJ(2),J-(2s/3(2)J-(2)=AexP J(z)J,(2) 由了定出积分常数A结只需将J(2)和J-D(2)的级数解(9.7)和(98)代入结找出 W[J(2),J-(2)≡J(2)Jy(2)-J-D(2)J(2) 中z-1项的系数即可.这只来自各级数中的第一项.因此结 (1+)2T(1-)2-T(1-)2r(1+)2y r(1+)r(1 r(u)T(1-v)丌 SIn 7l 这样就得到 J(2),J-(2) 上面的计算中用到了T函数的对质 r(u)r(1-v) sin TV (9.9)式再次表明结当v=n,n=0,1,2,…时J(2)和J-(2)线对相关.但是如果将 Bessel方 第的第二解取由J()和J-D(z)的线对组合结 u2(2)=C1J(2)+eJ-p(2) 只要选择适当的组合系数缃使得WJ(2),m2(2)对任何v均端由0结这样的u2(z)就一定(对任何 υ均)与J(z)线对无关.由此结我们就取第二解由 2(2)cJ(2)-J-(2) SIn 7tV 这样便有 WJ,(2), w2(a)l 由了保证这样定义的2(2)有意义(sin=0结分母由0)结并注意到J-n(2)=(-)2Jn(z)结我们 便应当进一步选取系数c结使得2(2)中的分子在v=n时也由0结例如取c=cosπu即可.这样Wu Chong-shi ￾✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡☛☞✌✍✎✏✑ (✄ ) ✒ 11 ✓ ➬❋✼ñ✐î ❨●Ü ν = n, n = 1, 2, 3, · · · ❄● Bessel ✿❀ d 2y dx 2 + 1 x dy dx +  1 − n 2 x 2  y = 0 ✼❀☎❇❅❫❵❽➚✻t➘●✂ y2(x) = gJn(x) ln x + X∞ k=0 dkx k−n , g 6= 0. ï◆❋ ✢ y2(x) ✣✤ Bessel ✿❀●✂❁❵áÕt✾ õö❬❭❘ Bessel ✿❀❀☎❇✼❪❫➣✿✐✾❑▲●✮ðñ Jν(z) ❣ J−ν(z) ✼ Wronski òó Û➬ñ✐þô✼♥✻➱♣✻✾õö❇ Bessel ✿❀✼Õt p(z) = 1/z ●÷ (9.3) ÛÖ❁➬❒❇ W [Jν(z), J−ν(z)] ≡      Jν(z) J−ν(z) J 0 ν (z) J0 −ν (z)      = A exp  − Z z dζ ζ  = A z . ❑☞❵á✾ñst A ●✶⑧ ✢ Jν(z) ❣ J−ν(z) ✼ ➾ t❇ (9.7) ❣ (9.8) ✣✤●øá W [Jν(z), J−ν(z)] ≡ Jν(z)J0 −ν (z) − J−ν(z)J0 ν (z) r z −1 ➘✼Õt✂❁✾➴✶✿ ù↔ ➾ t r✼❀❫➘✾❁▲● A = 1 Γ (1 + ν) 1 2 ν 1 Γ (1 − ν) −ν 2−ν − 1 Γ (1 − ν) 1 2 ν 1 Γ (1 + ν) ν 2 ν = − 2ν Γ (1 + ν) Γ (1 − ν) = − 2 Γ (ν) Γ (1 − ν) = − 2 π sin πν. ➴✒Ö❒❇ W [Jν(z), J−ν(z)] = − 2 πz sin πν. (9.9) ❋ö✼ðñ rÒ❇☞ Γ ②t✼✻ú Γ (ν) Γ (1 − ν) = π sin πν . (9.9) Û❯❱Ù ❨●Ü ν = n, n = 0, 1, 2, · · · ❄ Jν(z) ❣ J−ν(z) ♥✻➱♣✾❉❆ ❡❢✢ Bessel ✿ ❀✼❀☎❇❝❑ Jν(z) ❣ J−ν(z) ✼♥✻ûü● w2(z) = c1Jν(z) + c2J−ν(z), ✶àýþÿÜ✼ûüÕt●❐❒ W [Jν(z), w2(z)] ✻✰☛ ν ￾ ❈❑ 0 ●➴✒✼ w2(z) Ö❫❵ (✻✰☛ ν ￾) ♦ Jν(z) ♥✻♦♣✾❑▲●✁ôÖ❝❀☎❇❑ w2(z) = cJν(z) − J−ν(z) sin πν , ➴✒✲➚ W [Jν(z), w2(z)] = 2 πz . ❑☞✂❳➴✒❵✄✼ w2(z) ➚❶✄ (sin nπ = 0 ●ñ☎❑ 0) ●✈⑩❶❇ J−n(z) = (−) nJn(z) ●✁ô ✲✃Ü✪ ❫❦ý❝Õt c ●❐❒ w2(z) r✼ñ✆▲ ν = n ❄❅❑ 0 ● ✶❡ ❝ c = cos πν ✂❁✾➴✒