59.2 Bessel方程的解 第10页 现在是否已经完成了求解 Bessel方程的任务? 上面的确求出了两个指标, ·对应于每一个指标,也都求出了相应的解 ★当〃≠整数时的确如此,因为这时求出的两个解J(x)和J-D(a)线性无关 ★当=0时,上面的求解过程只是给出了同一个解 Jo(a) k=0Q(2 这表明,这时的第二解应该含有对数项,即 y2(x)=gJ(x)lnx+∑dkx,9≠0 ★当v=n,n=1,2,3,……时,前面仍然只是求出了一个解 第一,当Ⅳ=n,n=1,2,3,…时,级数解 J-n(a) (-)k Ak!T(k-n+1)(2 k=0 中前k=0,1,…,n-1各项的余数均为0,这是因为z=0,-1,-2,…都是 I函数的一阶极点,所以 ken kir(k-n+ 令k-n=l,就有 x2(n+1)-n J-n(r) (n+l)(+1) (-)"∑mr(n+l+1(2 (-)2Jn(x), 和第一解Jn(x)线性相关 笫二,在级数解法中,本来总是自然地约定级数解的首项糸数不为0,但现在却在无意中 反了这个约定:在导出J-u(x)(u=1,2,3,…)时,取co=2"/T(1-u),恰恰规定了c=0 笫三,我们当然可以舍弃掉这个不合理的规定,使得ψ(x)的级数中前面k=0,1,……,n-1 诸项的糸数不为0,但这势必导致从k=n项开始亲数均变为无穷.这也可以从递推关糸 (k-) 看出.当=n时,显然C2n无意义,因而以后各项余数也都失去意义Wu Chong-shi §9.2 Bessel ✡☛☞✏ ✒ 10 ✓ ➞ ▲❆✑ ✼✽✴✵☞❘❇ Bessel ✿❀✼✰✱ ➚ • ❋ö✼➪❘á☞♠❴★✩● • ✻✃❰➶❫❴★✩●❅❤ ❘á☞➱✃✼❇✾ F Ü ν 6= ✉t ❄✼➪ ❡ ▲●❁❑➴❄❘á✼♠❴❇ Jν(x) ❣ J−ν(x) ♥✻♦♣✾ F Ü ν = 0 ❄●❋ö✼❘❇￾❀✶❆➹á☞❃❫❴❇ J0(x) = X∞ k=0 (−) k k! k! x 2 2k . ➴Ù ❨●➴❄✼❀☎❇✃➘❽➚✻t➘●✂ y2(x) = gJ0(x) ln x + X∞ k=0 dkx k , g 6= 0. F Ü ν = n, n = 1, 2, 3, · · · ❄●✗ö➯Ý✶❆❘á☞❫❴❇✾ • ❘➝●å ν = n, n = 1, 2, 3, · · · ➙●➛➆❸ J−n(x) = X∞ k=0 (−) k k!Γ (k − n + 1) x 2 2k−n ➜➴ k = 0, 1, · · · , n − 1 ➷ ➩❷ ➅➆➬↔ 0 ●↕❯ ➣↔ z = 0, −1, −2, · · · ➡❯ Γ ➮ ➆❷➝➱✃◆ ✾❐ ❭ J−n(x) = X∞ k=n (−) k k!Γ (k − n + 1) x 2 2k−n . ❒ k − n = l ●➌➢ J−n(x) = X∞ l=0 (−) n+l (n + l)!Γ (l + 1) x 2 2(n+l)−n = (−) nX∞ l=0 (−) l l! Γ (n + l + 1) x 2 2l+n = (−) n Jn(x), ➫ ❘➝❸ Jn(x) ➓➔ï ➋✾ • ❘❨●④➛➆❸➏ ➜●❮➠❰❯ Ï➁Ð Ñ❬➛➆❸❷Ò➩ ➅➆æ ↔ 0 ●➌③④➍④➎Ó ➜Ô ➯ ➒↕➦ Ñ❬❜④Õ ➑ J−ν(x) (ν = 1, 2, 3, · · ·) ➙●Ö c0 = 2ν/Γ (1 − ν) ●××➋❬ ➒ c0 = 0 ✾ • ❘Ø●⑦⑧ å➁➍ ❭ÙÚÛ↕➦æÜÝ❷➋❬●Þ➃ y2(x) ❷➛➆ ➜➴ ❶ k = 0, 1, · · · , n − 1 ß➩❷ ➅➆æ ↔ 0 ●➌↕àáÕâã k = n ➩äå ➅➆➬æ↔➎➤✾↕ç➍ ❭ã➉➊ ➋➅ c2k = − 1 k(k − ν) 1 2 2 c2k−2 è ➑✾å ν = n ➙●é➁ c2n ➎Óê●➣ê ❭ë➷ ➩ ➅➆ç➡ìíÓê✾