(a)=x (1+x2)22(1+a2) 可知lm(5)=2,于是得到a21,解得a=1 10.将椭圆x+=1绕x轴旋转一周围成一个旋转椭球体,再沿x轴 方向用半径为r(r<b)的钻头打一个穿心的圆孔,剩下的体积恰 为原来椭球体体积的一半,求r的值。 解椭圆a+b=1绕x轴旋转一周所围成的旋转椭球体的体积为 割下部分的体积为 b(-:4兀db3b a 2=2丌r 22 由V1=2y,解得r=b,V 11.设直线y=ax(0<a<1)与抛物线y=x2所围成的图形的面积为S 且它们与直线x=1所围成图形的面积为S2。 (1)确定a的值,使得S+S2达到最小,并求出最小值 (2)该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体 积 解(1)S+S2=「0ax-x)+(x2-a)=3-2a+3 记f(a)=a3-a+,则f(a)=a2-1,f"(a)=2a。令f(a)=0,得 到 且f"()=√2>0。所以S+S2在a=一处取到最小值: min{S+S2}=f(片) (2)旋转体体积 Ix-(ax)]dx )I 将a=一代入,就得到(1 ) 2(1 ) ( ) 2 2 0 2 2 a a dx x x V a a + = + = ∫ π π ， 可知 2 lim ( ) π ξ ξ = →+∞ V ，于是得到 2 1 1 2 2 = + a a ，解得 a = 1。 10. 将椭圆 x a y b 2 2 2 2 + = 1绕 x轴旋转一周围成一个旋转椭球体，再沿 x轴 方向用半径为r（r < b ）的钻头打一个穿心的圆孔，剩下的体积恰 为原来椭球体体积的一半，求r 的值。 解 椭圆 x a y b 2 2 2 2 + = 1绕x轴旋转一周所围成的旋转椭球体的体积为 2 0 2 2 2 1 3 4 2 a x dx ab a b V a π ⎟ = π ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − ∫ 。 割下部分的体积为 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⋅ − + − = − − ∫ − 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 3 4 2 2 (1 ) 2 2 b r b a dx ab a x b r b b a V r a b r b a π π π 。 由 V1 = 2V2，解得 2 2 1 3 r = b − 。 11. 设直线 x（ ）与抛物线 所围成的图形的面积为 ， 且它们与直线 所围成图形的面积为 。 y = a 0 < a < 1 2 y = x 1 S x = 1 2 S （1） 确定a的值，使得 1 2 S + S 达到最小，并求出最小值； （2） 该最小值所对应的平面图形绕 轴旋转一周所得旋转体的体 积。 x 解（1） 3 1 2 1 3 1 ( ) ( ) 3 1 2 0 2 1 + 2 = − + − = − + ∫ ∫ S S ax x dx x ax dx a a a a 。 记 3 1 2 1 3 1 ( ) 3 f a = a − a + ，则 f a a , f (a) 2a 2 1 ( ) 2 ′ = − ′′ = 。令 ，得 到 f ′(a) = 0 2 1 a = ，且 ) 2 0 2 1 f ′′( = > 。所以 1 2 S + S 在 2 1 a = 处取到最小值： { } 1 2 1 1 1 min ( ) (1 ) 2 2 3 S S + = f = − 。 （2）旋转体体积 π π )π 5 1 3 1 15 4 [( ) ] [ ( ) ] ( 5 2 1 4 2 0 2 4 = − + − = − + ∫ ∫ V ax x dx x ax dx a a a a 。 将 2 1 a = 代入，就得到 240