12.设函数f(x)在闭区间[上连续,在开区间(0)上大于零,并满足 x(x)=(x)+3(x2(a为常数)。 进一步,假设曲线y=f(x)与直线x=1和y=0所围的图形S的面积 为2 (1)求函数f(x) (2)当a为何值时,图形S绕x轴旋转一周所得旋转体的体积最小? 解(1)由(x)=(x)+3x,可得(()=,所以(=3x+, 即 f(x) 对y(x)=()+12x两边关于x积分,有x0()-(+三 由此可得f()=4+a,从而c=4-a,于是 3a a)x (2) )dx=(a2+10a+160)。 令卩=0,得a=-5,且这时”=z>0,所以在a=-5时旋转体的体积 15 取到最小值 13.求下列旋转曲面的面积 0≤x≤a,绕x轴 (2)y 0≤x≤π,绕x轴; (3) 绕x轴 ()星形线{x=000≤≤,绕x轴 (5)心脏线r=a(1-cos6),绕极轴; (6)双纽线r2=a2cos2 ()绕极轴,(i)绕射线6=V 2 1 30 π + = 。 12. 设函数 f (x)在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1) 上大于零，并满足 2 2 3 ( ) ( ) x a xf ′ x = f x + （a为常数）。 进一步，假设曲线 y = f (x)与直线 x = 1和 y = 0所围的图形 的面积 为 2。 S （1） 求函数 f (x)； （2）当a为何值时，图形S 绕 x轴旋转一周所得旋转体的体积最小？ 解（1）由 2 2 3 ( ) ( ) x a xf ′ x = f x + ，可得 2 ( ) 3a x f x = ′ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ，所以 x c a x f x = + 2 ( ) 3 ， 即 x cx a f x = +2 2 3 ( ) 。 对 2 2 3 ( ) ( ) x a xf ′ x = f x + 两边关于 x积分，有 2 ( ) ( ) 1 0 1 0 a xdf x = f x dx + ∫ ∫ ， 由此可得 2 (1) 4 a f = + ，从而 c = 4 − a ，于是 x a x a f x (4 ) 2 3 ( ) 2 = + − 。 （2） V = 1 2 2 0 ( ) ( 10 160) 30 f x dx a a π π = + + ∫ 。 令V ′ = 0，得a = −5，且这时 0 15 ′′ = > π V ，所以在a = −5时旋转体的体积 取到最小值。 13. 求下列旋转曲面的面积： ⑴ y 2 = 2 px，0 ≤ ≤ x a ，绕 x轴； ⑵ y x = sin ，0 ≤ ≤ x π，绕 x轴； ⑶ x a y b 2 2 2 2 + = 1，绕 x轴； ⑷ 星形线 ，绕 x a t y a t t = = ⎧ ⎨ ⎩ ≤ ≤ cos , sin , 3 3 0 π x轴； ⑸ 心脏线r a = − ( c 1 osθ) ，绕极轴； ⑹ 双纽线r 2 = a 2 cos 2θ ， (i)绕极轴，(ii) 绕射线θ π = 2 。 241