第十二章数项级数 证由于 um+1+m+2+…+m+p 1 1 1 =(m+1y+(m+2+…+ (m+p)2 <m(m(m1m2(mtp( 1 =1-1 mm+p 因此，对任给正数e,取N=[],使当m>N及对任意正整数力，由上式就有 |um++un+2+…+u+p<<e. m 依定理12.1推得级数3是收敛的。 0 定理12.2若级数∑un与∑vn都收敛，则对任意常数c,d,级数∑(cun十 dvn)亦收敛，且 ∑(cun+dvn）=c∑un+d∑un· 由定理12.1，级数∑u,的敛散性取决于：对任给正数€，是否存在充分大的 正数N,使得当n>N及对任意正整数p恒有(6)式成立.由此可见，一个级数 是否收敛与级数前面有限项的取值无关.从而我们可得到以下定理！ 定理12.3去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性. 由此定理知道，若级数∑un收敛，其和为S,则级数 un+1+u+2+ (8) 也收敛，且其和Rn=S-S.·(8)式称为级数∑un的第n个余项（或简称余项）， 它表示以部分和S,n代替S时所产生的误差 定理12.4在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不 改变它的和， 证设∑un为收敛级数，其和为S.记 v1=u1+…+儿m,2=n,t1+…+un2’…, g=%-1+1+…+n’… 现在证明公4，加括号后的级数习(“，1+…+“)=∑也收敛，且其和 b1 也是S.事实上，设{Sn}为收敛级数∑um的部分和数列，则级数∑vk的部分和