七章留数定理及其应用 第七章留数定理及其应用 §71留数定理 留数定理设区域G的边界C为一分段光滑的简单闭合曲线若除有限个孤立奇点bk,k 2,3,…,n外,函数f(2)在G内单值解析,在石中连续,且在C上没有f(z)的奇点,则 f(2)dz=2ri∑resf(bk) ke resf(bk)称为f(2)在bk处的留数,它等于f(2)在bk的邻域内 Laurent展开中(z-bk)-1的系数 o7 图71留数定理 证如图7.1,围绕每个奇点b作闭合曲线k,使^均在G内,且互不交叠,则根据复连 通区域 Cauchy定理及函数作 Laurent展开时的系数公式,就有 k=1 f(bk) k=1 留数定理告诉我们,解析函数的围道积分值与函数在围道内的奇点直接有关.为了 计算解析函数的围道积分值,只需计算出函数在围道内奇点处的留数 ★求f()在奇点b处的留数,原则上说,就是求f(2)在z=b的邻域内 Laurent展开中(z-b)-1 项的系数 ★在极点的情况下,可以通过微商计算求留数 阶极点的情形设b点是f(x)的一阶极点,则在b点的邻域内, f(x)=a-1(z-b)-1+a+a1(z-b)+a2(z-b)2+￾✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡ ☛ 1 ☞ ✌✍✎ ✏✑✒✓✔✕✖✗ §7.1 ✘✙✚✛ ✜✢✣✤ ✥✦✧ G ★✩✪ C ✫✬✭✮✯✰★✱✲✳✴ ✵✶✷✸✹✺✻✼✽✾✿❀ bk, k = 1, 2, 3, · · · , n ❁❂❃❄ f(z) ❅ G ❆✲❇❈❉❂❅ G ❊❋●❂❍❅ C ■❏✺ f(z) ★ ✿❀❂❑ I C f(z)dz = 2π i Xn k=1 res f(bk). res f(bk) ▲✫ f(z) ❅ bk ▼★ ◆❄❂❖P◗ f(z) ❅ bk ★❘✧ ❆ Laurent ❙❚ ❊ (z − bk) −1 ★❯❄ a (k) −1 ✷ ❱ 7.1 ❲❳❨❩ ❬ ❭❪ 7.1 ❂❫❴❵✼✿❀ bk ❛✳✴ ✵✶ γk ❂❜ γk ❝❅ G ❆❂❍❞❡❢❣❂❑❤✐❥❋ ❦✦✧ Cauchy ❧♠♥❃❄❛ Laurent ❙❚♦★❯❄♣q❂r✺ I C f(z)dz = Xn k=1 I γk f(z)dz = 2π i Xn k=1 a (k) −1 = 2π i Xn k=1 res f(bk). st✉✈✇①②③❂④⑤⑥t⑦ ⑧⑨⑩❶❷❸⑥ t❹ ⑧⑨ ❺⑦❻❼❽❾❿ ➀✷➁ ➂ ➃➄④⑤⑥t⑦ ⑧⑨⑩❶❷❂➅➆➃➄ ➇⑥ t❹ ⑧⑨ ❺❻❼➈⑦ st✷ F ➉ f(z) ❅ ✿❀ b ▼★ ◆❄❂➊ ❑■➋❂r➌➉ f(z) ❅ z = b ★❘✧ ❆ Laurent ❙❚ ❊ (z − b) −1 ➍ ★❯❄✷ F ❅➎❀ ★➏➐➑❂➒➓❦➔→➣↔↕➉ ◆❄✷ F ➙➛➜➝➞➟➠ ✥ b ❀ ➌ f(z) ★✬➡➎❀ ❂❑❅ b ❀ ★❘✧ ❆❂ f(z) = a−1(z − b) −1 + a0 + a1(z − b) + a2(z − b) 2 + · · · .