()A2:(2)矩阵A的特征值与特征向最。 解()由A=a'B及a'B=0,有 A2=(aB)(a'B)=a(B'a)B=a(a'B)B=0 (2)设入是A的任一特征值，对应入的特征向量为x,即Ax=x,于是 A'x=Ax='x 因为A2=0,所以2x=0,由x≠0得入=0，即A的特征值全为零。又 「abah…a,bn1「bb2…bn A= 00.0 a.Aa.6…a,b」00…0 故方程组0的基础解系为 a会10g%[会410a [-,0,0,1 于是A的属于特征值入=0的全部特征向量为 ka1+k,a2+…+kn-1an- 其中k,k2,…,k-是不全为零的常数。 例6已知A是n阶方阵，1，入，…，入n是它的n个特征值，a1,a2,,an是其对应的n 个线形无关的特征向量，求A一入，I的全部特征值和一组线形无关的特征向量， 解由己知可得Aa1-入，a,1=1,2,,n),将其变形可得到 Aa=,a,=(0+元-元a,=1a,+(2,-元)a 从而 Aa,-,a,=(2,-1)a, 即 (A-0a,=(2-入)a 这就说明入，-，(=1,2，…，m）。一组线形无关的特征向量为a1,2,…,an。 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint,cn (1) 2 A ；(2) 矩阵 A 的特征值与特征向量。 解 (1) 由 A=a b T 及a b = 0 T ，有 A 0 2 = = = = T T T T T T (ab )(a b ) a(b a)b a(a b)b (2) 设l 是 A 的任一特征值，对应l 的特征向量为 x，即 Ax = lx ，于是 A x Ax x 2 2 = l = l 因为 = 0 2 A ，所以 x = 0 2 l ，由 x ¹ 0 得l = 0 ，即 A 的特征值全为零。又 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = 0 0 0 0 0 0 ~ 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 L M M M L L L M M M L L n n n n n n n b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b A 故方程组 Ax=0 的基础解系为 T n n T T b b b b b b ú û ù ê ë é = - ú û ù ê ë é = - ú û ù ê ë é = - - , 1, 0, , 0 , , 0, 1, , 0 , , , 0, , 0, 1 1 1 1 3 2 1 2 a1 L a L L a L 于是 A 的属于特征值l = 0 的全部特征向量为 1 + 2 2 + + n-1 n-1 k a1 k a L k a 其中 1 2 1 , , , n- k k L k 是不全为零的常数。 例 6 已知 A 是 n 阶方阵，l l ln , , , 1 2 L 是它的 n 个特征值，a a an , , , 1 2 L 是其对应的 n 个线形无关的特征向量，求 A I - l1 的全部特征值和一组线形无关的特征向量。 解 由已知可得 (i 1,2, , n) Aai = liai = L ，将其变形可得到 ai liai l li l ai l ai li l ai ( ) ( ) A = = 1 + - 1 = 1 + - 1 从而 ai liai li l ai ( ) A - = - 1 即 l ai li l ai ( ) ( ) - 1 = - 1 A I 这就说明 ( 1,2, , ) 1 i n li - l = L 。一组线形无关的特征向量为a a an , , , 1 2 L 。 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn