Lecture Notes on Wavelets, Chapter 4, by D Q. Dai, 2003 (G(a)1=∑ac,lh≤Cm|m,wm,k 从(5)式得 ()=cg(t-k) 所以 (t) +∑k)g(-) ≤∑sla|Em(1+|t-k)-m+∑km2Cm|k叫go(t-k ≤Mm(1+1)-m∑s2lck+Kmm∑k>9o(t-k)川 ≤Km(1+1)-m∑k(ck+gyo(t-k) 因为∑|go(t-k)关于t以1为周期,故有 ≤sp∑|go(t-k) 0≤t≤1 ≤ kim sup∑(1+|t-k) 0<t<1 从而推得是r-正则的。 定理4类似于代数中的Gram- Schmidt正交化过程。它虽然保持正则性,但不保持紧支集 性质 例:设r∈Z+,令 t)=X10 米···水 (t) 即g是x的r次卷积。显然 suppy C0,r+1],且g在整区间上为多项式,g∈Cm-1(R) 设V=S(9) 因为 lw 所以 r+1 e-i(r+1)/2 由此得Lecture Notes on Wavelets, Chapter 4, by D.Q. Dai,2003 6 (G(ω))−1 = X k cke ikω , |ck| ≤ Cm |k| −m , ∀m, k. 从(5)式得 ϕ(t) = X k ckg(t − k), 所以 ¯ ¯ϕ (α) (t) ¯ ¯ ≤ ³P |k|≤t/2 + P |k|>t/2 ´ |ckg α (t − k)| ≤ P |k|≤t/2 |ck|Km(1 + |t − k|) −m + P |k|>t/2 Cm|k| −m|g (α) (t − k)| ≤ M0 m(1 + |t|) −m P |k|≤t/2 |ck| + K00 mt −m P |k|>t/2 |g (α) (t − k)| ≤ K00 m(1 + |t|) −m P k (|ck| + |g (α) (t − k)|). 因为 P k ¯ ¯g (α) (t − k) ¯ ¯ 关于t 以1 为周期，故有 P k ¯ ¯g (α) (t − k) ¯ ¯ ≤ sup 0≤t≤1 P k ¯ ¯g (α) (t − k) ¯ ¯ ≤ km sup 0≤t≤1 P k (1 + |t − k|) −m ≤ ∞ 从而推得ϕ是r－正则的。 定理4类似于代数中的Gram－Schmidt正交化过程。它虽然保持正则性，但不保持紧支集 性质。 例：设r ∈ Z +，令 g(t) = χ[0,1] ∗ · · · ∗ χ[0,1](t) 即g 是χ[0,1] 的r次卷积。显然suppg ⊂ [0, r + 1]，且g在整区间上为多项式，g ∈ C r−1 (R)。 设V0 = S(g)。 因为 χˆ[0,1](ω) = 1 − e −iω iω 所以 ∧ g(ω) = µ 1 − e −iω iω ¶r+1 = e −i(r+1)ω/2 ( ω 2 ) −r−1 (sin ω 2 ) r+1 . 由此得