证明设Y的分布函数是G(y),由于0≤y≤1,于是对y<0,G()=0,对 y>1,G()=1,又由于x的分布函数F是严格递增的连续函数,其反函数F存在且严格 递增对0≤y≤1 G()=PY≤y}=PF(X)≤y}=PX≤F(y)}=F(F-(y)=y 即y的分布函数是G(y)={y,0≤y≤1 求导得Y的密度函数8以)≈10≤y≤1可见,y服从0]上的均匀分布证毕 0,其它 注:本例的结论在计算机模拟中有重要的应用 例6(E04)设随机变量X~N(山,.2)试证明X的线性函数Y=aX+b(a≠0)也服从正态 分布 证x的概率密度为fx(x)=√2a 0<x+∞ 由y=g(x)=ax+b解得x=M()2=y=b,且有从而y=ax+b的概率密度为 fr 0<y< 即f(y) a|a√2x (-∞<y<+∞) 即有Y=aX+b~N(ap+b、a)2) 特别地,若在本例中取a=1,b=-2,则得y=x-N0 这就是上节中一个已知定理的结果 例7设随机变量X服从参数为A的指数分布,求Y=mn{X,2}的分布函数 解根据已知结果,X的分布函数 Fr(x) x≤0 Y的分布函数 Fr()=P(Y sy)=P(min(X, 2)sy)=l-P(min(X, 2 >y)=l-P(X>y, 2>y) 当y<2时,F(y)=1-P{X>y=P{X≤y}=Fx(y),证明 设 Y 的分布函数是 G(y), 由于 0  y 1, 于是对 y  0, G(y) = 0; 对 y 1, G(y) =1; 又由于 X 的分布函数 F 是严格递增的连续函数, 其反函数 −1 F 存在且严格 递增. 对 0  y 1, G(y) = P{Y  y}= P{F(X)  y} = P X  F y = F F y = y − − { ( )} ( ( )) 1 1 即 Y 的分布函数是          = 1, 1 , 0 1 0, 0 ( ) y y y y G y 求导得 Y 的密度函数      = 0, 其它 1, 0 1 ( ) y g y 可见, Y 服从[0,1]上的均匀分布. 证毕. 注：本例的结论在计算机模拟中有重要的应用. 例 6 (E04) 设随机变量X ~ N(, 2 ).试证明X的线性函数 Y = aX + b (a  0) 也服从正态 分布. 证 X 的概率密度为 , 2 1 ( ) 2 2 2 ( )    − − = x X f x e − x +. 由 y = g(x) = ax + b 解得 ( ) , a y b x h y − = = 且有从而 Y = aX + b 的概率密度为 , | | 1 ( )       − = a y b f a f y Y X −  y  +, 即 2 2 2 2 1 | | 1 ( )          − − = a y b Y e a f y 2 2 2( ) [ ( )] | | 2 1     a y b a e a − + − = (−  y  +) 即有 ~ ( ,( ) ). 2 Y = aX + b N a + b a 特别地, 若在本例中取 , 1  a = ,   b = − 则得 ~ N(0,1). X Y  −  = 这就是上节中一个已知定理的结果. 例 7 设随机变量 X 服从参数为  的指数分布, 求 Y = min{X,2} 的分布函数. 解 根据已知结果, X 的分布函数     −  = − 0, 0 1 , 0 ( ) x e x F x x X  Y 的分布函数 F ( y) P{Y y} P{min{X,2} y} Y =  =  =1− P{min{X,2}  y} =1− P{X  y,2  y}. 当 y  2 时， F ( y) 1 P{X y} P{X y} F ( y), Y = −  =  = X