故当a=b=0时函数在x=0可导,其他情况下函数在x=0不可导 (3)由于f(0)=1im 如4=1,f(0)= lim aAr2-0=0≠f.0), 故函数在x=0不可导。 (4)当a≥0时函数在x=0不连续,所以不可导;当a<0时, lim之=lim 0,所以当a<0时函数在x=0可导。 8.设f(x)在x=0处可导,在什么情况下,1f(x)在x=0处也可导? 解当f(0)≠0时,不妨设f(0)>0,则在x=0的小邻域中有f(x)>0, 故|f(x)=f(x),所以(x)在x=0处也可导。 当f(0)=0时,由于 f(x)|-|f(0)|_f(x)-f(0 sonx, 分别在x=0处计算左、右极限,得到|∫(x)在x=0处的左导数为 ∫(0)|,右导数为f(0)|,所以f(x)在x=0处也可导的充分必要条 件是f(0)=0 9.设f(x)在[a,b上连续,f(a)=f(b)=0,且f(a)·f(b)>0,证明f(x) 在(a,b)至少存在一个零点。 证由题设知f(a)和∫(b)同号,不妨设两者都为正数。由于 f()-/(a)=imf(x) f(a)=m x-a 同理由于f(b)=1mn(0,可知存在x(a<耳<b),f(x)>0。 =lim(x)>0,可知存在x(x<x2<b), f(x2)<0。由连续函数的零点存在定理,函数f(x)在x1,x2之间有零点。 10.设f(x)在有限区间(a,b)内可导,故当a = b = 0时函数在 x = 0可导，其他情况下函数在 x = 0不可导。 （3）由于 1 0 (0) lim 0 ' = ∆ ∆ − = ∆ ∆ → + + x xe f x x ， 0 (0) 0 (0) lim ' 2 0 ' + ∆ → − − = ≠ ∆ ∆ − = f x a x f x ， 故函数在 x = 0不可导。 （4）当a ≥ 0时函数在 x = 0不连续，所以不可导；当a < 0时， 2 0 0 0 lim lim 0 a x x x y e x x ∆ ∆ → ∆ → ∆ − = ∆ ∆ = ，所以当a < 0时函数在 x = 0可导。 8． 设 f (x)在 x = 0处可导，在什么情况下，| ( f x)|在 x = 0处也可导？ 解 当 f (0) ≠ 0时，不妨设 f (0) > 0，则在 x = 0的小邻域中有 ， 故 ，所以| ( 在 f (x) > 0 | f (x)|= f (x) f x)| x = 0处也可导。 当 f (0) = 0时，由于 | ( ) | | (0) | ( ) (0) sgn 0 0 f x f f x f x x x − − = − − ， 分别在 x = 0 处计算左、右极限，得到 | ( f x)| 在 x = 0 处的左导数为 − | ' f (0) |，右导数为| ' f (0) |，所以| ( f x)|在 x = 0处也可导的充分必要条 件是 f '(0) = 0。 9．设 f (x)在[ , a b]上连续， f a( ) = f b( ) = 0，且 ′( )⋅ ′( ) > 0 + − f a f b ，证明 在( , 至少存在一个零点。 f x( ) a b) 证 由题设知 f (a) + ′ 和 f− ′(b)同号，不妨设两者都为正数。由于 ' ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim 0 x a x a f x f a f x f a x a x a + → + → + − = = > − − ，可知存在 1 1 x ( ) a x < < b ， 。 同理由于 ( ) 0 f x1 > ' ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim 0 x b x b f x f b f x f b x b x b − → − → − − = = − − > ，可知存在 2 1 2 x ( ) x x < < b ， f (x2 ) < 0。由连续函数的零点存在定理，函数 f x( )在 x1, x2之间有零点。 10．设 f (x)在有限区间( , a b)内可导， 62