Lecture Notes on Wavelets, Chapter 4, by D.Q. Dai, 2005 f()=∑ Chet2krt 其中 Fourier系数 ck=J∑y(t-l)e-axdt ∑J dt 由(8)式推得,(=0当k≠0,即(2k丌)=0,对任何k≠0 在等式(u)=m(u/2)(/2)两边取模并令u=2k丌,再求和得 P(0)P2 (2kr) ∑|mo(kπ)|2|(kπ)2 ∑(mo(2kx)2|2(2kr)2+|mo(2k+1)r)2|(2k+1)r)2) =|m0(0)∑|(2kr)2+|mo(r)2∑|(x+2kr)2 (0)2+|m0()2∑|2(x+2kr) 在第三个等式中,我们将求和分为奇数部分与偶数部分,第四个等式中利用了m0(u)的周期 为2 在(9)式中,令山=丌,得 所以∑h 反之,由双尺度关系,有 f(t)= hip(2t-2k-7) h-2ky(2t-1) ∑A∑kh-2k)(2t-1) ∑ng(2t-D) f(2) 所以f(2t)=f(2-1).由于f连续,令j→∞,得f(t)=f(0) 方程(8)称为单位分划( partition of unity)。当φ构成S(y)的标准正交基时,它自动地满 足,这时有Lecture Notes on Wavelets, Chapter 4, by D.Q. Dai,2003 9 f(t) = X k cke i2kπt 其中Fourier系数 ck = R 1 0 P l ϕ(t − l)e −i2kπtdt = P l R 1 0 ϕ(t − l)e −i2kπtdt = R +∞ −∞ ϕ(t)e −i2kπtdt = ˆϕ(2kπ). 由(8)式推得，ck = 0当k 6= 0，即ϕˆ(2kπ) = 0，对任何k 6= 0。 在等式ϕˆ(ω) = m0(ω/2) ˆϕ(ω/2)两边取模并令ω = 2kπ，再求和得 |ϕˆ(0)| 2 = P k |ϕˆ(2kπ)| 2 = P k |m0(kπ)| 2 |ϕˆ(kπ)| 2 = P k (|m0(2kπ)| 2 |ϕˆ(2kπ)| 2 + |m0((2k + 1)π)| 2 |ϕˆ((2k + 1)π)| 2 ) = |m0(0)| 2 P k |ϕˆ(2kπ)| 2 + |m0(π)| 2 P k |ϕˆ(π + 2kπ)| 2 = |ϕˆ(0)| 2 + |m0(π)| 2 P k |ϕˆ(π + 2kπ)| 2 . 在第三个等式中，我们将求和分为奇数部分与偶数部分，第四个等式中利用了m0(ω)的周期 为2π。 在(9)式中，令ω = π，得 m0(π) = 0 所以 P k h2k = P k h2k+1 。 反之, 由双尺度关系, 有 f(t) = P k ϕ(t − k) = P k P l hlϕ(2t − 2k − l) = P k P l hl−2kϕ(2t − l) = P l ( P k hl−2k)ϕ(2t − l) = P l ϕ(2t − l) = f(2t). 所以f(2t) = f(2−j t). 由于f连续, 令j → ∞, 得f(t) = f(0). 方程(8)称为单位分划（partition of unity）。当ϕ构成S(ϕ)的标准正交基时，它自动地满 足，这时有