dD(z)=202 0,知该点为极小值点,所以,当 n1 h1+n2 b="2-时,统计量z h1+Vn-1S2+(n2-1S2]=S2具有最小方差 注:此例结果表明,第5章第三节定理4中的统计量S2是方差a2的最佳无偏估计 相合性 例7(E04)设x1…,Xn是取自总体X的样本,且E(X)存在,k为正整数,则 n∑X为E(x)的相合估计量 证事实上,对指定的k,令 由大数定理知lmF=E(Y)=B(x),从而∑X是E(x)的相合估计量 作为特例,样本均值X是总体均值E(X)的相合估计量 例8(E05)设总体X~N(,a2),x1…,Xn为其样本试证样本方差S2是2的相合估 计量 证由本节定理1.E(S2)=o2,又由第5章第三节定理2,知(-12-x2(m-1,从 而D(m-1)s|=2n-1) 故由切比雪夫不等式推得,对任意E>0 0≤P{S2-E(S2)e}=PlS2-a2e}≤D(S2)= 当n→∞时,上式左、右端均趋于0,根据相合性定义可知S2是a2的相合估计量 课堂练习 1.设总体X的k阶矩从k=E(Xkk≥1)存在,又设X1,x2,…,Xn是X的一个样本.试 证明不论总体服从什么分布,k阶样本矩4=∑x是k阶总体矩八的无偏估计量又 0, 1 2 1 2 2 ( ) 1 2 4 2 2         − + − = da n n d D Z  知该点为极小值点, 所以, 当 , 2 1 1 2 1 + − − = n n n a 2 1 1 2 2 + − − = n n n b 时, 统计量 2 2 2 2 2 1 1 1 2 [( 1) ( 1) ] 2 1 w def n S n S S n n Z − + − = + − = 具有最小方差. (注: 此例结果表明, 第 5 章第三节定理 4 中的统计量 2 w S 是方差 2  的最佳无偏估计). 相合性 例 7 (E04) 设 X X n , , 1  是取自总体 X 的样本, 且 ( ) k E X 存在, k 为正整数, 则 = n i k Xi n 1 1 为 ( ) k E X 的相合估计量. 证 事实上, 对指定的 k , 令 , k Y = X , k Yi = Xi   = = = = n i k i n i i X n Y n Y 1 1 , 1 1 由大数定理知 lim ( ) ( ), k n Y = E Y = E X → 从而 = n i k Xi n 1 1 是 ( ) k E X 的相合估计量. 作为特例, 样本均值 X 是总体均值 E(X) 的相合估计量. 例 8 (E05) 设总体 ~ ( , ) 2 X N   , X X n , , 1  为其样本. 试证样本方差 2 S 是 2  的相合估 计量. 证 由本节定理 1, ( ) , 2 2 E S = 又由第 5 章第三节定理 2, 知 ~ ( 1), ( 1) 2 2 2 − − n n S   从 而 2( 1) ( 1) 2 2  = −      − n n S D  1 2 ( ) 2 2 − = n D S  故由切比雪夫不等式推得, 对任意   0, 0 {| ( )| } {| | } 2 2 2 2  P S − E S   = P S −   ( 1) 2 ( ) 1 2 4 2 2 −  = n D S    当 n → 时, 上式左、右端均趋于 0, 根据相合性定义可知 2 S 是 2  的相合估计量. 课堂练习 1. 设总体 X 的 k 阶矩 = E(X )(k 1) k  k 存在, 又设 X X X n , , , 1 2  是 X 的一个样本. 试 证明不论总体服从什么分布, k 阶样本矩 = = n i k k X i n A 1 1 是 k 阶总体矩  k 的无偏估计量