0 Fx)o={x0,0≤x≤ 因E(x)=6/2,D(X)=0212,故E(G1)=aE(X)=a6/2 当a=2时,E()=0,01为O无偏估计,且 D(1)=D(2X)=4D(X)=402(12n)=02/(3n) 又fn(x)=川F(x)yf(x) Jm-l/”,0≤x≤0 其它 所以 nx E(X n+16n n+1点(xi)=C D(Xm= (n+2)(n+12 故E(62)=M(1m)=bn0当n+1时,EO)=,即B1=2+Mm为O的无偏估 计,且DO62)=b2D(Xm)= =D(1) n+2)(n+1)2n(n+2) 所以B2比6更有效 例6设分别自总体N(4,o2)和N(22)中抽取容量为n,n2的两独立样本其样本方 差分别为S2,S2,试证对于任意常数ab(a+b=1),Z=aS2+bS2都是σ2的无偏估计,并确 定常数a,b使D(Z)达到最小 解E(S2)a2,E(S2)=a2,由第5章第三节的定理2,知 且相互独立,所以DS2)=2a41(n1-1),D(S2)=2a2/(m1-1) 故当a+b=1时,E(Z)=aE(S2)+bE(S2)=a2,即Z是a2的无偏估计.由S2,S2相互独立, 及 D(Z)=D(aS2+bS2)=(a2n1-1)+b2(n2-1)2a4=(a2/(n1-1)+(1-a)2/n2-1)·2a4 令D(z =0,得驻点a n1+n2-2         = = − , 1, / , 0 0, 0 ( ) ( ) x x x x F x f t dt x    因 E(x) = / 2, ( ) /12, 2 D X = 故 ) ( ) / 2. ˆ ( E 1 = aE X = a  当 a = 2 时, ) , ˆ ( E 1 = 1 ˆ  为  无偏估计, 且 ) (2 ) 4 ( ) 4 /(12 ) /(3 ). ˆ ( 2 2 D 1 = D X = D X =  n = n 又 , 0, / , 0 ( ) [ ( )] ( ) 1 1      = = − − 其它 nx  x  f x n F x f x n n n n 所以 , 1 1 ( ) 0 1 0 ( ) + = + = = +  n x n n n dx nx E X n n n n n      , 2 ( ) 2 0 1 2 ( ) + = =  + n n dx nx E X n n n    , ( 2)( 1) ( ) 2 2 ( ) + + = n n n D X n  故 , 1 ) ( ) ˆ ( 2 ( ) + = = n n E bE X n b   当 n n b +1 = 时, ) , ˆ ( E  2 = 即 2 ( ) 1 ˆ X n n n +  = 为  的无偏估 计, 且 2 2 2 ( ) 2 2 ( 2)( 1) 1 ) ( ) ˆ ( + +        + = = n n n n n D b D X n   ) ˆ ( ( 2) 3 1 2 2    D n n n  = + = 所以 2 ˆ  比 1 ˆ  更有效. 例 6 设分别自总体 ( , ) 2 N 1  和 ( , ) 2 N 2  中抽取容量为 1 2 n , n 的两独立样本.其样本方 差分别为 2 2 2 1 S , S , 试证, 对于任意常数 2 2 2 1 a,b(a +b =1),Z = aS + bS 都是 2  的无偏估计, 并确 定常数 a,b 使 D(Z) 达到最小. 解 ( ) , 2 2 E S1  ( ) , 2 2 E S2 = 由第 5 章第三节的定理 2, 知 ( 1) / ~ ( 1), 1 2 2 2 n1 − S1   n − ( 1) / ~ ( 1) 2 2 2 2 n2 − S2   n − 且相互独立, 所以 ( ) 2 /( 1), 1 2 4 D S1 =  n − ( ) 2 /( 1), 1 2 2 D S2 =  n − 故当 a + b =1 时, ( ) ( ) ( ) , 2 2 2 2 E Z = aE S1 + bE S = 即 Z 是 2  的无偏估计. 由 2 2 2 1 S ,S 相互独立, 及 ( ) ( ) 2 2 2 D Z = D aS1 + bS 4 2 2 1 2 = (a /(n −1) + b (n −1)) 2 4 2 2 1 2 = (a /(n −1) + (1− a) /(n −1)) 2 令 0, 1 2(1 ) 1 2 2 ( ) 1 2 4 2  =      − − − − = n a n a da dD Z  得驻点 , 2 1 1 2 1 + − − = n n n a