即Q的行向量组是两两正交的单位向量 定理8A1=A→存在正交矩阵Q,使得QAQ=A.(阅读8385页) 推论设AT=A,若九是A的r重特征值,则对应于特征值x一定有r个 线性无关的特征向量.(对比定理4) 例7对下列矩阵A,求正交矩阵Q,使得Q4Q=A: 101 22 (1)A=011,(2)A=212,(3)A 0111 10 112 221 解(1)g()=-A(-1)(λ-3) 对应于特征值=0,2=1,3=3的特征向量依次为 PI P2 (定理7保证它们两两正交)构造正交矩阵Q和对角矩阵A: 1/3-1/√21/√6 Q /z1/√6 02/√6 则有QAQ=A (2)gp()=-(-5)4+1)2,属于A1=5的特征向量为p1= 求属于λ2=A3=-1的两个特征向量(凑正交): A-(-1)E=222|→000,P2=1|,P3= 00011 即 Q 的行向量组是两两正交的单位向量． 定理 8 A T = A  存在正交矩阵 Q , 使得 Q AQ =  T ．（阅读 83-85 页） 推论 设 A = A T , 若  是 A 的 r 重特征值, 则对应于特征值  一定有 r 个 线性无关的特征向量．（对比定理 4） 例 7 对下列矩阵 A , 求正交矩阵 Q , 使得 Q AQ =  T ： (1)           = 1 1 2 0 1 1 1 0 1 A , (2)           = 2 2 1 2 1 2 1 2 2 A , (3)             − − − − = 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 A ． 解 (1) () = −( − 1)( − 3) 对应于特征值 1 = 0, 2 = 1, 3 = 3 的特征向量依次为           − − = 1 1 1 p1 ,          − = 0 1 1 p2 ,           = 2 1 1 p3 （定理 7 保证它们两两正交）构造正交矩阵 Q 和对角矩阵  ：           − − − = 1 3 0 2 6 1 3 1 2 1 6 1 3 1 2 1 6 Q ,           = 3 1 0  则有 Q AQ =  T ． (2) 2 () = −( − 5)( + 1) , 属于 1 = 5 的特征向量为           = 1 1 1 1 p ． 求属于 2 = 3 = −1 的两个特征向量（凑正交）：           →           − − = 0 0 0 0 0 0 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) 行 A E ,          − = 0 1 1 p2 ,           − = 2 1 1 p3