Methods of Mathematical Physics(2016. 12) Chapter 11 Methods of integral transforms YLMa'@ Phys. FDU 同时振幅在传播过程中与距离的一次方成反比而减小(那么,能量流以与 距离的平方成反比的方式减小,即能量守恒),这种现象也称为 Huygens 现象 2.受迫振动问题 vn(F,1)-a2V2v(F,1)=f(F,1) 0 解: Fourier变换后,方程变为 j(,)+dk(k,1)=(k) 到=。=0,==0 解之得(可以用 Laplace变换法求解) v(k, 1 利用D(k)smna4 y() 4 (-P1-andF’,得到, v(F, 1) f(,r) 4 6|-t+ dt d 其中利用了ax)= (x) (a≠0) 注意到,式中的被积函数只有当r-t+ 0,即r=t 时才 可能不为零,而且从τ的积分限看又必须τ≥0。由此可见,F'必须满足 条件F一P1≤at。这是以产点为球心、at为半径的球体,记之为Tm。在此 条件下,对r积分后,得到 v(0)=[J f(r 这就是受迫振动问题的解Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 11 Methods of integral transforms YLMa@Phys.FDU 8 同时振幅在传播过程中与距离的一次方成反比而减小（那么，能量流以与 距离的平方成反比的方式减小，即能量守恒），这种现象也称为 Huygens 现象。 2. 受迫振动问题 2 2 0 0 ( , ) ( , ) ( , ), 0, 0. tt t t t v r t a v r t f r t v v            解：Fourier 变换后，方程变为 2 2 0 0 ( , ) ( , ) ( , ), 0, 0. tt t t t v k t a k v k t f k t v v           解之得（可以用 Laplace 变换法求解）   0 ( , ) ( , ) sin d , t f k v k t ak t ak      利用          r r at r r r r ak a akt k        ( )d ( ) 4 sin 1 ( ) ~     ，得到，   0 2 0 1 ( , ) ( , ) d d 4 1 ( , ) d d , 4 t t f r v r t r r a t r a r r f r r r t r a r r a                                                            其中利用了 ( ) ( ) . x ax a    （ a  0 ） 注意到，式中的被积函数只有当  0     a r r t    ，即 a r r t        时才 可能不为零，而且从  的积分限看又必须   0 。由此可见， r   必须满足 条件 r  r   at   。这是以 r  点为球心、at 为半径的球体，记之为 r Tat  。在此 条件下，对  积分后，得到 2 1 1 ( , ) ( , )d . 4 r Tat r r v r t f r t r  a r r a          这就是受迫振动问题的解