第6期 胡向东，等：环形单网管冻结稳态温度场一般解析解 2345 2-1兰，化并解6 22 ,0±=0：第省 c=-5-n2小4：0 0,-4 0(Ul±L,±5)=0a 冻土边界条件 h- 0.(1±21.±)=0 (1) 将其代入式(15)，则 0= (18) 9.(l,)=8:第泪 8,1±6)=g 0,U±21,6)=0 陈结管处条件 4[平w受 上式与巴霍尔金单排管冻结温度场的解析解3) 选取适当的80,6心，…及日6,85，，可 相同。 以保证问题（山）为单管冻结的温度场模型。则 3.3像平面温度场问题的解 对于图3表示的像平面温度场问题，其数学模型 (12) 为： (oo Po 其中：=+x-T 根据冻土边界和冻结管条件的周期性，则日80 l,-5)=a:冻土内边界条件 (19) 为常数。即每根管温度场问愿相同。 儿)=:冻土外边界条件 单排管冻结温度场解为无限个单管冻结温度场解 ，R)=日：冻结管处条件 的叠加 根据边界条件可以分离性可，上述问题可以分解 0=-g (13) 为求解以下2个问题，然后再将解加起来即可得到原 问题的解，即0+ 根据贝塞特求和公式叫， 立r+-01=nch29-cos2-）(4 兽器0 整理式(13)得： 8(l,-5)=A;冻士土内边界条件 (20) 4(U1,5)=-0+。,冻土外边界条件 8Ul,R)=6,-8:冻结管处条件 ro 10 a,1,-5)=0,冻土内边界条件 将冻士边界条件代入式15)，得： (2) ,(Ul,5)=日。，冻土外边界条件 ,,R)=,:冻结管处条件 (16) 通过选取适当的8。可以保证式(20)为单排巴霍尔 再将冻结管处条件代入式(15，得： 金问题。由冻土内边界和冻结管条件，根据单排巴霍 cpn(受-wm平-4 尔金解(18)，其解可以表达为： (17) 0,-4-% 因为c2-2+1,工程中号<1则 h2- ·受中后湖子1期。 店n平-w平}4四 1994-2016Chi Academic Joural Electronic Publishing House.All rights http://www.cnki.ne 第 6 期 胡向东，等：环形单圈管冻结稳态温度场一般解析解 2345 1 2 1 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 (, ) ; ( ,) ( 2, ) (,) ; ( ,) ( 2, ) j j j j j j j j j jf j jf j jf x y jl j jl l jl l jl r j jl l r jl l r                                                                   第 管 冻土边界条件 第 管 冻结管处条件 (11) 选取适当的 1 j0  ， 2 j0  ，…及 1 jf  ， 2 jf  ，…，可 以保证问题(11)为单管冻结的温度场模型。则 0 f 0 0 0 ln ln ln ln j j jj j r r r r r        (12) 其中： 2 2 ( ) j r y x jl   。 根据冻土边界和冻结管条件的周期性，则 θjf；θj0 为常数。即每根管温度场问题相同。 单排管冻结温度场解为无限个单管冻结温度场解 的叠加：   j     (13) 根据贝塞特求和公式[21]： 2 2 2π 2π ln[ ( ) ] ln ch cos y x y x jl l l             (14) 整理式(13)得： 1 2π 2π ln ch cos 2 y x C D l l          (15) 0 0 0 0 ln ln ln ln jf j C r r r              ； 0 0 0 ln ln j jf D r r       将冻土边界条件代入式(15)，得： 0 1 2π 2π ln ch cos 2 jl C D l l           (16) 再将冻结管处条件代入式(15)，得： 0 f 1 2 2π π ln ch cos 2 r jl C D l l          (17) 因 为 ch2x=2sh2 x+1 ，工程中 0r l ＜＜ 1 则 0 0 π π sh r r l l  ；冻结中后期 π 1 l   ，则 π π 1 sh e 2 l l    ， 2π 2π 1 ch 1 e 2 l l     ，化简并求解式(16)和(17)得： 0 1 2π ln 2 2 C D l            ； 0 0 2π π ln f D r l l       将其代入式(15)，则 0 0 0 π 2π π ln f A r l l l                  (18) 其中： 1 2π 2π ln 2 ch cos 2 y x A l l            。 上式与巴霍尔金单排管冻结温度场的解析解[3] 相同。 3.3 像平面温度场问题的解 对于图 3 表示的像平面温度场问题，其数学模型 为： 2 2 2 2 1 0 2 0 w 0 ( , ) ; ( , ) ; ( , ) ; f u v jl jl jl R                          冻土内边界条件 冻土外边界条件 冻结管处条件 (19) 根据边界条件可以分离性[17]，上述问题可以分解 为求解以下 2 个问题，然后再将解加起来即可得到原 问题的解，即 θ=θ1+θ2。 2 2 1 1 2 2 1 10 12 0 1 w 0 ( , ) ; ( , ) ; ( , ) ; a f b u v jl jl jl R                              冻土内边界条件 冻土外边界条件 冻结管处条件 (20) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 w 0 ( , ) 0; ( , ) ; ( , ) ; a b u v jl jl jl R                          冻土内边界条件 冻土外边界条件 冻结管处条件 (21) 通过选取适当的 θa 可以保证式(20)为单排巴霍尔 金问题。由冻土内边界和冻结管条件，根据单排巴霍 尔金解(18)，其解可以表达为： 0 1 1 2π π ln f b Rw l l           1 0 1 2π 2π π ln2 ch cos 2 v u l ll                  (22)