《数学分析》上册教案 第六章微分中值定理及其应用 海南大学数学系 §6.3泰勒公式 教学章节：第六章微分中值定理及其应用一一§6.3泰勒公式 教学目标：掌握Taylor公式，并能应用它解决一些有关的问题， 教学要求：(1)深刻理解Taylor定理，学握Taylor公式，熟悉两种不同余项的Taylor公式及其 之间的差异：(2)掌握并熟记一些常用初等函数和Taylor展开公式，并能加以应用. (3)会用带Taylor型余项的Taylor公式进行近似计算并估计误差：会用代Peanlo 余项的Taylor公式求某些函数的极限. 教学重点：Taylor公式 教学难点：Taylor定理的证明及应用， 教学方法：系统讲授法 教学过程： 引言 不论在近似计算或理论分析中，我们希望能用一个简单的函数来近似一个比较复杂的函数， 这将会带来很大的方便.一般来说，最简单的是多项式，因为多项式是关于变量加、减、乘的运算， 但是，怎样从一个函数本身得出我们所需要的多项式呢？ 上一节中，讨论过“微分在近似计算中的应用”从中我们知道，如果函数f在点x可导，则有 有限存在公式： f(x)=f(xo)+f(xoX(x-xo)+O(x-xo) 即在x,附近，用一次多项式B(x)=f(x)+f(x-x)逼近函数f(x)时，其误差为0(x-x). 然而，在很大场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼 近，并要求误差为0(x-x),其中n为多项式次数.为此，有如下的n次多项式： P()=4+a,(x-x)+.+a(x-x)° 易见： 4=.k),4=P,4=,a,-(多项式的系数由其各阶导数在的 11 2 取值唯一确定)， 对于一般的函数，设它在x点存在直到n阶导数，由这些导数构造一个n次多项式如下：《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 3 §6.3 泰勒公式 教学章节：第六章 微分中值定理及其应用——§6.3 泰勒公式 教学目标：掌握 Taylor 公式,并能应用它解决一些有关的问题. 教学要求：（1）深刻理解 Taylor 定理,掌握 Taylor 公式,熟悉两种不同余项的 Taylor 公式及其 之间的差异；（2）掌握并熟记一些常用初等函数和 Taylor 展开公式,并能加以应用. （3）会用带 Taylor 型余项的 Taylor 公式进行近似计算并估计误差；会用代 Peanlo 余项的 Taylor 公式求某些函数的极限. 教学重点：Taylor 公式 教学难点：Taylor 定理的证明及应用. 教学方法：系统讲授法. 教学过程： 引 言 不论在近似计算或理论分析中,我们希望能用一个简单的函数来近似一个比较复杂的函数, 这将会带来很大的方便.一般来说,最简单的是多项式,因为多项式是关于变量加、减、乘的运算, 但是,怎样从一个函数本身得出我们所需要的多项式呢？ 上一节中,讨论过“微分在近似计算中的应用”从中我们知道,如果函数 f 在点 0 x 可导,则有 有限存在公式； 0 0 0 0 f x f x f x x x x x ( ) ( ) ( )( ) 0( ) = + − + −  即在 0 x 附近,用一次多项式 1 0 0 0 p x f x f x x x ( ) ( ) ( )( ) = + −  逼近函数 f(x)时,其误差为 0 0( ) x x − . 然而,在很大场合,取一次多项式逼近是不够的,往往需要用二次或高于二次的多项式去逼 近,并要求误差为 0 0( ) x x − ,其中 n 为多项式次数.为此,有如下的 n 次多项式： 0 1 0 0 ( ) ( ) ( )n n n p x a a x x a x x = + − + + − 易见： 0 0 ( ) n a p x = , 0 1 ( ) 1! n p x a  = , 0 2 ( ) 2! n p x a  = ,., ( ) 0 ( ) ! n n n p x a n = （多项式的系数由其各阶导数在 0 x 的 取值唯一确定）. 对于一般的函数,设它在 0 x 点存在直到 n 阶导数,由这些导数构造一个 n 次多项式如下：