《数学分析》上册教案 第六章微分中值定理及其应用 海南大学数学系 Z=+x-++62x-y 1 称为函数f在点处泰勒多项式.的各项函数，)(k=1,2,)称为泰勒系数 问题当用泰勒多项式通近f(x)时，其误差为f(x)-T(x)=0(x-x)) 一、带有皮亚诺余项的泰勒公式 定理1若函数f在点x存在直至n阶导数，则有fx)=T,(x)+0(x-x)),即 =)4/2x-04-r+0- n！ 即函数f在点处的泰勒公式：R(x)=f(x)-T(x)称为泰勒公式的余项. 证明设R,(x)=fx)-T.(x),G(x)=(x-a)”.应用L6 spital法则n-1次，并注意到 f(a)存在，就有 8片g图中mao n-1).2(x-a） -a-ro小o x-a 称R,(x)=(x-a)”)为Taylor公式的Peano型余项，相应的Maclaurin公式的Peano型余 项为R.(x)=(x").并称带有这种形式余项的Taylor公式为具Peano型余项的Taylor公式 （或Maclaurin公式) 注1、若f(x)在点x附近函数满足f(x)=P(x)+0(x-x)》),其中 P(x)=a+a(x-xo)++a(x-)°，这并不意味着p(x)必定是f的泰勒多项式Tn(x).但 p,(x)并非f(x)的泰勒多项式T(x).(因为除∫"(0)=0外，f在x=0出不再存在其它等于一阶的 导数.)； 注2、满足条件f(x)=P.(x)+0(x-x))的n次逼近多项式p(x)是唯一的.由此可知，当f 满足定理1的条件时，满足要求fx)=P.(x)+0(x-x))的多项式P.(x)一定是f在x点的泰勒 多项式T(x): 注3、泰勒公式x=0的特殊情形-一麦克劳林(Maclauyin)公式： 《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 4 ( ) 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1! ! n n n f x f x T x f x x x x x n  = + − + + − 称为函数 f 在点 0 x 处泰勒多项式, ( ) T x n 的各项函数, ( ) 0 ( ) ! k f x k （k＝1,2,.,n）称为泰勒系数. 问题 当用泰勒多项式逼近 f(x)时,其误差为 0 ( ) ( ) 0(( ) ) n n f x T x x x − = − 一、带有皮亚诺余项的泰勒公式 定理 1 若函数 f 在点 0 x 存在直至 n 阶导数,则有 0 ( ) ( ) 0(( ) ) n n f x T x x x = + − ,即 ( ) 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0(( ) ) 1! ! n n n f x f x f x f x x x x x x x n  = + − + + − + − 即函数 f 在点 0 x 处的泰勒公式； ( ) ( ) ( ) R x f x T x n n = − 称为泰勒公式的余项. 证明 设 ( ) ( ) ( ) R x f x T x n n = − , n G(x) = (x − a) . 应用 L Hospital 法则 n −1 次, 并注意到 ( ) ( ) f a n 存在, 就有 ==== = − − → → ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( 1) ( 1) 0 0 G x R x G x R x n n n x a n x a ( 1) 2( ) ( ) ( ) ( )( ) lim ( 1) ( 1) ( ) n n x a f x f a f a x a n n n x a − − − − − − − →  = ( ) 0 ( ) ( ) lim ! 1 ( ) ( 1) ( 1) =        − − − = − − → f a x a f x f a n n n n x a . 称 ( ) n Rn (x) =  (x − a) 为 Taylor 公式的 Peano 型余项, 相应的 Maclaurin 公式的 Peano 型余 项为 ( ) ( ) n n R x =  x . 并称带有这种形式余项的 Taylor 公式为具 Peano 型余项的 Taylor 公式 ( 或 Maclaurin 公式 ). 注 1、若 f(x)在点 0 x 附近函数满足 0 ( ) ( ) 0(( ) )n n f x P x x x = + − ,其中 0 1 0 0 ( ) ( ) ( )n n n p x a a x x a x x = + − + + − ,这并不意味着 ( ) n p x 必定是 f 的泰勒多项式 ( ) T x n .但 ( ) n p x 并非 f(x)的泰勒多项式 ( ) T x n .（因为除 f (0) 0 = 外,f 在 x＝0 出不再存在其它等于一阶的 导数.）； 注 2、满足条件 0 ( ) ( ) 0(( ) )n n f x P x x x = + − 的 n 次逼近多项式 ( ) n p x 是唯一的.由此可知,当 f 满足定理 1 的条件时,满足要求 0 ( ) ( ) 0(( ) )n n f x P x x x = + − 的多项式 ( ) n p x 一定是 f 在 0 x 点的泰勒 多项式 ( ) T x n ； 注 3、泰勒公式 0 x ＝0 的特殊情形――麦克劳林（Maclauyin）公式：