《数学分析》上册教案 第六章微分中值定理及其应用 海南大学数学系 =j0+f0x++@x+0r 1Ⅱ n! 引申定理1给出了用泰勒多项式来代替函数y=f(x)时余项大小的一种估计，但这种估计 只告诉我们当x→时，误差是较(x一x)高阶的无穷小量，这是一种“定性”的说法，并未从“量” 上加以描述；换言之，当点给定时，相应的误差到底有多大？这从带Peano余项的泰勒公式上看 不出来为此，我们有有必要余项作深入的讨论，以便得到一个易于计算或估计误差的形式 二、带有Lagrange型余项的Taylor公式 定理2（泰勒）若函数f在[a,b]上存在直到n阶的连续导函数，在(a,b)内存在n十1阶导 函数，则对任意给定的x,x∈[a,b],至少存在一点5∈(a,b)使得： m-e-e-r9-xr (1) 1！ n! 证明记R(x)=fx)-T(x),要证 得-r ,记 Q()=x-“,不妨设名<x,则R(2.(闭在6上有直到n阶的连续导数，在化，)内存 在n+1阶导数，又因为 R()=R'(x）=.=R(x)=0Q(x)=Q(x)=.=Qn(x)=0 故在区间氏，上连续运用Cac中值定理m+l次，就有 R(x)_R(x)-R(x)_R'(5)_R(5)-R(x) Q.(x)0x)-0.()Q.'(5)Q(5)-Q(x) R52= =R(5)-R_Ra(位 ."(5) 2.(5)-2.(x)2,+(5) 其中，七5<5<5<<<xR(5)=f(⑤)，Q.(⑤)=n+1川， 从而得到《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 5 ( ) (0) (0) ( ) (0) 0( ) 1! ! n n n f f f x f x x x n  = + + + + 引申 定理 1 给出了用泰勒多项式来代替函数 y＝f(x)时余项大小的一种估计,但这种估计 只告诉我们当 0 x x → 时,误差是较 0 ( )n x x − 高阶的无穷小量,这是一种“定性”的说法,并未从“量” 上加以描述；换言之,当点给定时,相应的误差到底有多大？这从带 Peano 余项的泰勒公式上看 不出来.为此,我们有有必要余项作深入的讨论,以便得到一个易于计算或估计误差的形式. 二、带有 Lagrange 型余项的 Taylor 公式 定理 2（泰勒） 若函数 f 在[a,b]上存在直到 n 阶的连续导函数,在(a,b)内存在 n＋1 阶导 函数,则对任意给定的 0 x x a b , [ , ]  ,至少存在一点  ( , ) a b 使得： ( ) ( 1) 0 0 1 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1! ! ( 1)! n n n n f x f x f f x f x x x x x x x n n  + +  = + − + + − + − + （1） 证明 记 ( ) ( ) ( ) R x f x T x n n = − ,要证 ( 1) 1 0 ( ) ( ) ( ) ( 1)! n n n f R x x x n  + + = − + ,记 1 0 ( ) ( )n Q x x x n + = − ,不妨设 0 x x  ,则 ( ), ( ) R x Q x n n 在 0 [ , ] x b 上有直到 n 阶的连续导数,在 0 ( , ) x b 内存 在 n+1 阶导数,又因为 ( ) 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 n R x R x R x n n n = = = =  , ( ) 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 n Q x Q x Q x n n n = = = =  . 故在区间 0 [ , ] x x 上连续运用 Cauchy 中值定理 n+1 次,就有 0 1 0 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n n n n n n n R x R x R x R R R x Q x Q x Q x Q Q Q x       − −  = = = −    − ( ) ( ) ( 1) 2 0 ( ) ( ) ( 1) 0 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n n n n n n n n n n n R R R x R Q Q Q x Q       + +  − = = = =  − , 其中, 0 1 1 n n x x           − , ( 1) ( 1) ( ) ( ) n n R f n   + + = , ( 1) ( ) ( 1)! n Q n n  + = + , 从而得到