《数学分析》上册教案 第六章微分中值定理及其应用 海南大学数学系 R=组x-xy (2) 5介于与x之间. 注1、当=0时，泰勒公式即为拉格朗日公式，所以泰勒定理可以看作拉格朗日定理向高阶 导数方向的推广： 2、当x。=0时，则变为带拉格朗日型余项的麦克劳林公式 =0+0x++f0r+g2g0e0 n! (n+1)1 称这种形式的余项R,(x)为Lagrange型余项。并称带有这种形式余项的Taylor公式为具 Lagrange型余项的Taylor公式。Lagrange型余项还可写为 R.()f((a).1). (n+11 a=0时，称上述Taylor公式为Maclaur in公式，此时余项常写为 1 R.()(n( 三、函数的Taylor公式（或Maclaurin公式）展开 (一)直接展开 例1求fx)=e的Maclaurin公式. 、解e=1t+++0<0< 例2求f(x)=sinx的Maclaurin公式. x3,x5 解mx=-写+(- x2m-1 （2m-+R.(), 《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 6 ( 1) 1 0 ( ) ( ) ( ) ( 1)! n n n f R x x x n  + + = − + , （2）  介于 0 x 与 x 之间. 注 1、当 n＝0 时,泰勒公式即为拉格朗日公式,所以泰勒定理可以看作拉格朗日定理向高阶 导数方向的推广； 2、当 0 x = 0 时,则变为带拉格朗日型余项的麦克劳林公式 ( ) ( 1) 1 (0) (0) ( ) ( ) (0) 1! ! ( 1)! n n n n f f f x f x f x x x n n  + +  = + + + + +  (0,1) 称这种形式的余项 R (x) n 为 Lagrange 型余项. 并称带有这种形式余项的 Taylor 公式为具 Lagrange 型余项的 Taylor 公式. Lagrange 型余项还可写为 ( ) , ( 1)! ( ( )) ( ) 1 ( 1) + + − + + − = n n n x a n f a x a R x    (0 ,1) . a = 0 时, 称上述 Taylor 公式为 Maclaurin 公式, 此时余项常写为 ( ) , ( 1)! 1 ( ) ( +1) +1 + = n n n f x x n R x  0  1. 三、 函数的 Taylor 公式( 或 Maclaurin 公式 )展开 (一) 直接展开 例 1 求 x f (x) = e 的 Maclaurin 公式. 解 , ( 0 1) 1! 2! ! ( 1)! 1 1 2   + = + + + + + +   n n x x x n e n x x x e  . 例 2 求 f (x) = sin x 的 Maclaurin 公式. 解 ( ) (2 1)! ( 1) 3! 5! sin 2 2 1 1 3 5 R x m x x x x x m m m + − = − + − + − −  −