《数学分析》上册教紫 第六章微分中值定理及其应用 海南大学数学系■ x21 尼.国=2+nma+m+与0<0<1. 例3求函数f(x)=n(1+x)的具Peano型余项的Maclaurin公式， 解()=1) +0=1)产a-g. 1(n-1 x2,x3 例4把函数fx)=gr展开成含x'项的具Peano型余项的claurin公式.（教材P179E5, 留为阅读。) (二)间接展开 利用已知的展开式，施行代数运算或变量代换，求新的展开式. 例5把函数f(x)=sinx2展开成含x4项的具Peano型余项的胎claurin公式 例6把函数f(x)=cos2x展开成含xs项的具Peano型余项的服claurin公式 解m1号+号言 m2-20+弩答+（注意四a0） w心-0+w2=1-+2苔-2若+0 例？先把函数/中：民开成具P心型余项的6car加公式。利用得到的民开 式把函数g)-3中5在点6=2展开成具Pa00型余项的1a1or公式 解了o=)”川 1+x) 。f(0)=(-1)N. fx)=1-x+x2-x3++(-lx+o(x方《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 7 ) , 0 1 2 1 sin ( (2 1)! ( ) 2 1 2         + + + = + x m   m x R x m m . 例 3 求函数 f (x) = ln(1+ x) 的具 Peano 型余项的 Maclaurin 公式 . 解 , (0) ( 1) ( 1)! (1 ) ( 1)! ( ) ( 1) ( ) 1 ( ) 1 = − − + − = − − − f n x n f x n n n n n . ( 1) ( ) 2 3 ln(1 ) 1 2 3 n n n x n x x x + x = x − + −+ − +  − . 例4 把函数 f (x) = tgx 展开成含 5 x 项的具Peano 型余项的Maclaurin 公式 .( 教材P179 E5, 留为阅读. ) (二) 间接展开 利用已知的展开式, 施行代数运算或变量代换, 求新的展开式. 例 5 把函数 2 f (x) = sin x 展开成含 14 x 项的具 Peano 型余项的 Maclaurin 公式 . 解 ( ) 3! 5! 7! sin 7 3 5 7 x x x x x = x − + − +  , ( ) 3! 5! 7! sin 14 6 10 14 2 2 x x x x x = x − + − +  . 例 6 把函数 f x x 2 ( ) = cos 展开成含 6 x 项的具 Peano 型余项的 Maclaurin 公式 . 解 ( ) 2! 4! 6! cos 1 6 2 4 6 x x x x x = − + − +  , ( ), 6! 2 3! 4 cos 2 1 2 6 4 6 6 2 x x x x = − x + − +  ( 注意, (kx) = (x), k  0 )  ( ) 6! 2 3! 2 (1 cos 2 ) 1 2 1 cos 6 4 5 6 2 2 x x x x = + x = − x + − +  . 例 7 先把函数 x f x + = 1 1 ( ) 展开成具 Peano 型余项的 Maclaurin 公式 . 利用得到的展开 式,把函数 x g x 3 5 1 ( ) + = 在点 x0 = 2 展开成具 Peano 型余项的 Taylor 公式. 解 , (1 ) ( 1) ! 1 ( ) + + − = n n n x n f (0) ( 1) ! ( ) f n n n = − . ( ) 1 ( 1) ( ); 2 3 n n n f x = − x + x − x ++ − x +  x