《数学分析》上册教案 第六章微分中值定理及其应用 海南大学数学系 1 1 11 g(x) 3+5x-13+5x-2131+5x-2 13 =-2+(信-29+eir(r-2r小6-2） 例8把函数sr展开成具Peano型余项的faclaurin公式，并与snx的相应展 开式进行比较. t() 产安r若+m e2=1-+ 。咖+号号) 而 2m-川+(x2. 四、常见的Maclaurin公式 (一)带Penno余项的Maclaurin公式 x23x3 2m-n+0r2） y2m-l =1- +r高) 0-号+号+4r4r 0+xr=1+ax+aa-r+.+aa-小-a-n+D+0r) 2！ 1-1+x++++0r 1 (仁)带Lagrange型余项的Maclaurin公式 《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 8 13 5( 2) 1 1 13 1 13 5( 2) 1 3 5 1 ( ) − + = + − = + = x x x g x =       − − + − − + − − n n n x x ) (x 2) 13 5 ) ( 2) ( 1) ( 13 5 ( 2) ( 13 5 1 13 1 2 2  + (( 2) ). n  x − 例 8 把函数 shx 展开成具 Peano 型余项的 Maclaurin 公式 ,并与 sin x 的相应展 开式进行比较. 解 ( ), 1! 2! ! 1 2 n n x x n x x x e = + + ++ +  ( ) ! ( 1) 1! 2! 1 2 n n x n x n x x x e = − + −+ − +  ;  ( ) 2 3! 5! (2 1)! 2 1 3 5 2 1 − − − + − = + + + + − = m x x m x m x x x x e e shx   . 而 ( ) (2 1)! ( 1) 3! 5! sin 2 1 3 5 1 2 1 − − − + − − = − + − + m m m x m x x x x x   . 四、常见的 Maclaurin 公式 (一) 带 Penno 余项的 Maclaurin 公式 2 1 0( ) 2! ! n x n x x e x x n = + + + + + 3 5 2 1 1 2 sin ( 1) 0( ) 3! 5! (2 1)! m x x x m m x x x m − − = − + + + − + − 2 4 2 2 1 cos 1 ( 1) 0( ) 2! 4! (2 )! m x x x m m x x m + = − + + + − + 2 3 1 ln(1 ) ( 1) 0( ) 2 3 n x x x n n x x x n − + = − + + + − + 2 ( 1) ( 1) ( 1) (1 ) 1 0( ) 2! ! n n x x x x n        − − − + + = + + + + + 1 2 1 0( ) 1 n n x x x x x = + + + + + − (二) 带 Lagrange 型余项的 Maclaurin 公式