《数学分析》上册教案 第六音微分中值定理及其应用 海南大学数学系 sinx=x- x3.x5 ②D,+-1 )"cosoxx2m1x∈R,O∈(01)● x∈R,0∈(0，) n+x=x-+ 号号+r4 -o.oea ynel (+x-I+ax+aa-Daa-)(a-n+D 21 ala-I)(a-(+0x)x n! x>-1,0e(0,1) x<1,0∈(0,1) 五、常见的Maclaurin公式的初步应用 (一)证明e是无理数 例9证明e是无理数， 证明把e展开成具Lagrange型余项的aclaurin公式，有 e=1++aw es 0<5<1. 反设e是有理数，即e=(p和g为整数)，就有Me=整数+ n+1 对0>双心号由是鉴数。于是，后心号整煮：鉴数-整数：整氨，但由 Q<5<1→0<<<3，因而当n心>3时不可能是整数矛盾， (二)计算函数的近似值 例10求e精确到0.000001的近似值. 9《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 9 2 1 1 2! ! ( 1)! n x x n x x e e x x n n  + = + + + + + + x R  , (0,1) 3 5 2 1 1 2 1 cos sin ( 1) ( 1) 3! 5! (2 1)! (2 1)! m x x x x m m m x x x m m  − − + = − + + + − + − − + x R  , (0,1) 2 4 2 1 2 2 cos cos 1 ( 1) ( 1) 2! 4! (2 )! (2 2)! m x x x x m m m x x m m + +  = − + + + − + − + x R  , (0,1) 2 3 1 1 1 ln(1 ) ( 1) ( 1) 2 3 ( 1)(1 ) n n n n n x x x x x x n n x  + − + + = − + + + − + − + + x −1, (0,1) 2 ( 1) ( 1) ( 1) (1 ) 1 2! ! n n x x x x n        − − − + + = + + + + 1 1 ( 1) ( ) (1 ) ! n n n x x n      − − − − + + + x −1, (0,1) 1 2 2 1 1 1 (1 ) n n n x x x x x x  + + = + + + + + − − x 1, (0,1) 五、常见的 Maclaurin 公式的初步应用 (一) 证明 e 是无理数 例 9 证明 e 是无理数. 证明 把 x e 展开成具 Lagrange 型余项的 Maclaurin 公式, 有 , 0 1 ! ( 1)! 1 3! 1 2! 1 1 1   + = + + + + + +   n e n e  . 反设 e 是有理数, 即 p q p e = ( 和 q 为整数), 就有 n!e = 整数 + n +1 e  . 对 q p n  q, n!e = n! 也是 整数. 于是, =  − + q p n n e ! 1  整数 = 整 数―整 数 = 整数 .但由 0  1,  0  e  e  3,   因而当 n  3 时, n +1 e  不可能是整数. 矛盾. (二) 计算函数的近似值 例 10 求 e 精确到 0.000001 的近似值