刘聪等：离散时间异质多智能体系统的一致性控制 ·145 Ra-mxm和L2∈Ra-x-m满足 min,o(2Re(:)/八入，2)且a>1+maxl,ln(i=1,2, [Lu Le] ,m)为系统拉普拉斯矩阵的对角元素，入：(i=1,2, L= LL2 (8) ,n)为矩阵V的特征值，那么矩阵U仅有一个特征 记 值为1，其余特征值均在复平面的单位圆内. (k)=[x(k),v(k),x(]ER 证明：由引理2知矩阵V仅有一个零特征值，其余 将式(6)和(7)写成紧凑形式得 非零特征值均具有正实部.另外，由式(10)易知以：= (k+1)=U(k). (9) 1-T入4：是矩阵U的特征值，A:是矩阵V的特征值， 式中， 因此矩阵U仅有一个特征值为1. 「I. TI 不失一般性，记入，=0，A:=Re（入，)+im(入：)， U= -TLn (1-aT)I Re(A)>0,i=2,3,…,n+m,i为虚数单位，i= -TL2 0 I-m-TLn √-1.因此有 注意到U可以表示为 lu,12=(1-TRe(,)2+（-Im(A,))2= U=I.-TV. (10) T(IA,I2T-2Re(A:))+1<1, 式中， 即lμI<1,i=2,3,,n+m.综上可知，矩阵U仅有 r0 -I 一个特征值为1，其余特征值均在复平面的单位圆内. V- 证毕. Ln- 从引理3可知，矩阵的特征值分布不仅与控制 引理2如果系统有向拓扑含有生成树，且α>1 参数和系统的拓扑结构有关，还与系统的采样周期有 +maxl时，l.(i=1,2,…,m)为系统拉普拉斯矩阵的 密切的关系. 对角元素，那么矩阵V仅有一个零特征值，其余非零 定理1如果系统有向拓扑含有生成树，0<T< 特征值均具有正实部. mino(2Re(A)/八入：12)且x>1+maxl.时，la(i=1, 证明：首先，对矩阵V作可逆变换 2,…,m)为系统拉普拉斯矩阵的对角元素，入，(i=1,2, -I ,n)为矩阵V的特征值，则系统(1)和(2)在协议 V=MVM= L-(a-1)Ln (a-1). (4)和(5)的作用下渐近实现一致. 0 证明：由引理3知矩阵U仅有一个特征值为1，其 「1m0 余特征值均在复平面的单位圆内 M=I. 设p=,0,1]T,利用L1。=0,容易验证 00 Upa=lpa,因此pa是矩阵U对应于特征值1的特征 向量.令J为矩阵U的Jordan标准形，则必存在非奇 易知，矩阵V与V具有相同的特征值.注意到矩阵) 异矩阵P∈Ra+x使得U=PP.不失一般 的行和为零，当a>1+max I,i=1,2,,m时，矩阵 性，记 可以看成是含有n+m个顶点的图对应的拉普拉斯矩 qu 阵，则矩阵至少有一个零特征值，其余非零特征值 P=ppa…pm],P1 都具有正实部，因此矩阵V至少有一个零特征值，其 余非零特征值都具有正实部. . 接下来，对矩阵V作初等行列变换 其中pmeR"m,i=1,2,…,n+m为矩阵U的右特征 0 0 向量和广义右特征向量，qu∈R*m,i=1,2,…,n+m 为矩阵U的左特征向量和广义左特征向量，则有 U=PPpP…PP= 易知rank(V)=m+rank(L).系统有向拓扑包含生成 树，由引理1可知rank(L)=n-l,则rank(V)=n+ m-1,因此，矩阵V仅有一个零特征值，其余非零特征 值都具有正实部 式中，J为矩阵U的非1特征值对应的Jordan块 证毕 注意到矩阵U的非1特征值都在复平面的单位 引理3如果系统有向拓扑含有生成树，0<T< 圆内，则刘 聪等: 离散时间异质多智能体系统的一致性控制 Ｒ( n － m) × m 和 L22∈Ｒ( n － m) × ( n － m) 满足 L = L11 L12 [ L21 L ] 22 ． ( 8) 记 φ( k) =［xT s ( k) ，vT s ( k) ，xT f ( k) ］T ∈Ｒ( n + m) × ( n + m) ， 将式( 6) 和( 7) 写成紧凑形式得 φ( k + 1) = Uφ( k) ． ( 9) 式中， U = Im TIm 0 － TL11 ( 1 － αT) Im － TL12 － TL21 0 In － m － TL         22 ． 注意到 U 可以表示为 U = In + m － TV． ( 10) 式中， V = 0 － Im 0 L11 αIm L12 L21 0 L         22 引理 2 如果系统有向拓扑含有生成树，且 α ＞ 1 + max lii时，lii ( i = 1，2，…，m) 为系统拉普拉斯矩阵的 对角元素，那么矩阵 V 仅有一个零特征值，其余非零 特征值均具有正实部． 证明: 首先，对矩阵 V 作可逆变换 V 槇 = MVM － 1 = Im － Im 0 L11 － ( α － 1) Im ( α － 1) Im L12 L21 0 L         22 ， M = Im 0 0 Im Im 0 0 0 In －         m ． 易知，矩阵 V 槇 与 V 具有相同的特征值． 注意到矩阵 V 槇 的行和为零，当 α ＞ 1 + max lii，i = 1，2，…，m 时，矩阵 V 槇 可以看成是含有 n + m 个顶点的图对应的拉普拉斯矩 阵，则矩阵 V 槇 至少有一个零特征值，其余非零特征值 都具有正实部，因此矩阵 V 至少有一个零特征值，其 余非零特征值都具有正实部． 接下来，对矩阵 V 作初等行列变换 V→ Im 0 0 0 L11 L12 0 L21 L         22 ， 易知 rank( V) = m + rank( L) ． 系统有向拓扑包含生成 树，由引理 1 可知 rank( L) = n － 1，则 rank( V) = n + m － 1，因此，矩阵 V 仅有一个零特征值，其余非零特征 值都具有正实部． 证毕． 引理 3 如果系统有向拓扑含有生成树，0 ＜ T ＜ minλi ≠0 ( 2Ｒe ( λi ) / | λi | 2 ) 且 α ＞ 1 + max lii，lii ( i = 1，2， …，m) 为系统拉普拉斯矩阵的对角元素，λi ( i = 1，2， …，n) 为矩阵 V 的特征值，那么矩阵 U 仅有一个特征 值为 1，其余特征值均在复平面的单位圆内． 证明: 由引理2 知矩阵 V 仅有一个零特征值，其余 非零特征值均具有正实部． 另外，由式( 10) 易知 μi = 1 － Tλi，μi 是矩阵 U 的特征值，λi 是矩阵 V 的特征值， 因此矩阵 U 仅有一个特征值为 1． 不失一般性，记 λ1 = 0，λi = Ｒe ( λi ) + iIm ( λi ) ， Ｒe ( λi ) ＞ 0，i = 2，3，…，n + m，i 为 虚 数 单 位，i = 槡－ 1． 因此有 | μi | 2 = ( 1 － TＲe ( λi ) ) 2 + ( － TIm ( λi ) ) 2 = T( | λi | 2 T － 2Ｒe ( λi ) ) + 1 ＜ 1， 即| μi | ＜ 1，i = 2，3，…，n + m． 综上可知，矩阵 U 仅有 一个特征值为 1，其余特征值均在复平面的单位圆内． 证毕． 从引理 3 可知，矩阵 U 的特征值分布不仅与控制 参数和系统的拓扑结构有关，还与系统的采样周期有 密切的关系． 定理 1 如果系统有向拓扑含有生成树，0 ＜ T ＜ minλi ≠0 ( 2Ｒe ( λi ) / | λi | 2 ) 且 α ＞ 1 + max lii时，lii ( i = 1， 2，…，m) 为系统拉普拉斯矩阵的对角元素，λi ( i = 1，2， …，n) 为矩阵 V 的特征值，则系统( 1) 和( 2) 在协议 ( 4) 和( 5) 的作用下渐近实现一致． 证明: 由引理 3 知矩阵 U 仅有一个特征值为 1，其 余特征值均在复平面的单位圆内． 设 pr1 =［1 T m，0 T m，1 T n － m］T ，利用 L1n = 0n，容易验证 Upr1 = 1pr1，因此 pr1是矩阵 U 对应于特征值 1 的特征 向量． 令 J 为矩阵 U 的 Jordan 标准形，则必存在非奇 异矩 阵 P ∈ Ｒ( n + m) × ( n + m) 使得 U = PJP － 1 ． 不失 一 般 性，记 P =［pr1，pr2，…，pr，n + m］，P － 1 = qT l1 qT l2  qT l，n +            m  ． 其中 pri∈Ｒn + m，i = 1，2，…，n + m 为矩阵 U 的右特征 向量和广义右特征向量，qli∈Ｒn + m，i = 1，2，…，n + m 为矩阵 U 的左特征向量和广义左特征向量，则有 Uk = PJP － 1PJP － 1…PJP          － 1 k = P 1 0 T n + m － 1 0n + m － 1 [ ] J k P － 1 = P 1 0 T n + m － 1 0n + m － 1 J [ k ]P － 1 ． 式中，J 为矩阵 U 的非 1 特征值对应的 Jordan 块． 注意到矩阵 U 的非 1 特征值都在复平面的单位 圆内，则 · 541 ·