·146 工程科学学报，第38卷，第1期 宫4人4] 1.9me(0） 令y,(k)=x,(k)+y,(k),并记y(k)= Pu9p(0）= (11) C()y(k),x(A]T,z(k)=[y(),y(k-1), 1.-m9p(0) …,y(k-T)]T,结合式(14)和(15)可得 z(k+1)=Hz(k). (16) 式中，P(0)=x(O),v(0),x(O)]T为系统的初始 式中， 值.由式(11)可以看出lim.x,(k)=qp(0),ie., lim4.:(k)=0,ie,即满足lim(x,(k)-x(k)）=0, 0 0 0 i,j∈，Iim(:(k)-(k)）=0,ij∈习，系统(1)和 H= 0 0 (2)在协议(4)和(5)的作用下渐近实现一致. 证毕. 00…1.m 0 从定理1的证明可以看出，系统达到一致性时的 R+)6a+时xg+Datl 平衡点与矩阵U的特征值1的左特征向量和系统的 初始值有关. 接下来分析存在通信时延时系统(1)和(2)的一 W。= (ar- .-aT'D 1-a 0 致性.假定智能体之间的通信时延不一致，且通信时 延有界，将协议(4)和(5)分别改写为 I-m-TD ,围=-a,（因+Aa,Gk-）-,)ie又 0 0 01 W. aTAi0 aTA,i=l,2,…Ts (12) L TA 0 TAr] 和 引理4刃令矩阵W,∈R",i=0,l,…,Tm为非 4,(h)= Aa,k--,)ie以 负矩阵，矩阵B形如式(16)中的矩阵H,矩阵W= (13) 式(12)和式(13)中，α>0为控制参数，r为从智能体j 乞W,若W,的主对角线元素都为正，W为随机矩阵 且以W为邻接矩阵的图包含生成树，则矩阵B为SIA 到智能体i的通信时延且T;≤T,这里TgT均为正 矩阵。 整数. 将协议(12)和(13)分别代入系统(1)和(2)，并 定理2系统(1)和(2)在协议(12)和(13)的作 记x.（k)=x,(k),…,x(]T,y（k)= 用下渐近实现一致，如果系统有向拓扑含有生成树，并 (k),…,n(因]T,x(k)=x.1(k),…,xn(因]T, 满是a>1且cr名 ay aT-1<a, 可得 x.(k+1)=x()+Ty.(k), ∑ag<1. y,(k+1)=-TDx,(k)+(1-aαT)y.(k)+ 证明：当a>1且aT,m∑a,<2T-1<a, TAx,(k-1)+…+TA:x(k-T）+ 1-12,m TA4.1(k-1)+…+TAx(k-T） T公4<1时，W为非负矩阵，令W= (14) 和 。W,则W为随机矩阵.对矩阵1。一w作初等行 x(k+1）=TA.x.(k-1)+…+TAex.(k-T）+ 列变换，得 TAx(k-1)+…+TA,_x(k-T）+ 0 0 (I...-TD)x(k). (15) Lnm-W→0D.-A。 -A 式(14)和式(15)中， L0-A.D:-A;] D=,D,言A=A, 可以看出rank(L.m-W)）=m+rank(L).系统有向拓 扑含有生成树，由引理1可知rank(L)=n-l,则rank Au=AAu=Ar (L.+m-W)=n+m-1,矩阵I.,m-W仅有一个零特 征值，由引理1可知以矩阵W为邻接矩阵的图包含有工程科学学报，第 38 卷，第 1 期 lim k→∞ φ( k) = limk→∞ P 1 0 T n + m － 1 0n + m － 1 J [ k ]P － 1φ( 0) = pr1 qT l1φ( 0) = 1 m qT l1φ( 0) 0 m 1n － m qT l1φ( 0          )  ． ( 11) 式中，φ( 0) =［xT s ( 0) ，vT s ( 0) ，xT f ( 0) ］T 为系统的初始 值． 由式( 11) 可以看出limk→∞ xi ( k) = qT l1 φ( 0) ，i∈In， limk→∞ vi ( k) = 0，i∈Im，即满足lim k→∞ ( xi ( k) － xj ( k) ) = 0， i，j∈In，lim k→∞ ( vi ( k) － vj ( k) ) = 0，i，j∈Im，系统( 1) 和 ( 2) 在协议( 4) 和( 5) 的作用下渐近实现一致． 证毕． 从定理 1 的证明可以看出，系统达到一致性时的 平衡点与矩阵 U 的特征值 1 的左特征向量和系统的 初始值有关． 接下来分析存在通信时延时系统( 1) 和( 2) 的一 致性． 假定智能体之间的通信时延不一致，且通信时 延有界，将协议( 4) 和( 5) 分别改写为 ui ( k) = － αvi ( k) + ∑ j∈Ni aij( xj ( k － τij) － xi ( k) ) ，i∈Im ( 12) 和 ui ( k) = ∑ j∈Ni aij( xj ( k － τij) － xi ( k) ) ，i∈In /Im ． ( 13) 式( 12) 和式( 13) 中，α ＞ 0 为控制参数，τij为从智能体 j 到智能体 i 的通信时延且 τij≤τmax，这里 τij，τmax均为正 整数． 将协议( 12) 和( 13) 分别代入系统( 1) 和( 2) ，并 记 xs ( k ) = ［x1 ( k) ，…，xm ( k) ］T ， vs ( k ) = ［v1 ( k) ，…，vm ( k) ］T ，xf ( k) = ［xm + 1 ( k) ，…，xn ( k) ］T ， 可得 xs( k + 1) = xs( k) + Tvs( k) ， vs( k + 1) = － TDsxs( k) + ( 1 － αT) vs( k) + TAs，1 xs( k － 1) + … + TAs，τmax xs( k － τmax ) + TAsf，1 xf ( k － 1) + … + TAsf，τmax xf ( k － τmax      ) ( 14) 和 xf ( k + 1) = TAfs，1 xs( k － 1) + … + TAfs，τmax xs( k － τmax ) + TAf，1 xf ( k － 1) + … + TAf，τmax xf ( k － τmax ) + ( In － m － TDf ) xf ( k) ． ( 15) 式( 14) 和式( 15) 中， D = diag{ Ds，Df} ，∑ τmax i = 1 As，i = As， ∑ τmax i = 1 Asf，i = Asf，∑ τmax i = 1 Af，i = Af， ∑ τmax i = 1 Afs，i = Afs，A = As Asf [ Af A ]fs ． 令 ys ( k ) = xs ( k ) + αTvs ( k ) ，并 记 γ( k ) = ［xT s ( k) ，yT s ( k) ，xT f ( k) ］T ，z( k) =［γT ( k) ，γT ( k － 1) ， …，γT ( k － τmax) ］T ，结合式( 14) 和( 15) 可得 z( k + 1) = Hz( k) ． ( 16) 式中， H = W0 W1 … Wτmax － 1 Wτmax In + m 0 … 0 0 0 In + m … 0 0     0 0 … In + m              0  ∈ Ｒ( τmax + 1) ( n + m) × ( τmax + 1) ( n + m) ， W0 ( = 1 － 1 ) α Im 1 α Im ( 0 αT － 1 ) α Im － αT2 Ds ( 1 － αT + 1 ) α Im 0 0 0 In － m － TD            f ， Wi = 0 0 0 αT2 As，i 0 αT2 Asf，i TAfs，i 0 TAf，         i ，i = 1，2，…，τmax ． 引理 4 ［17］ 令矩阵 Wi∈Ｒn × n ，i = 0，1，…，τmax为非 负矩阵，矩阵 B 形如式( 16) 中的矩阵 H，矩阵 W = ∑ τmax i = 0 Wi，若 W0 的主对角线元素都为正，W 为随机矩阵 且以 W 为邻接矩阵的图包含生成树，则矩阵 B 为 SIA 矩阵． 定理 2 系统( 1) 和( 2) 在协议( 12) 和( 13) 的作 用下渐近实现一致，如果系统有向拓扑含有生成树，并 满足 α ＞ 1 且 α2 T2 max i = 1，2，…，m∑ n j = 1 aij ＜ α2 T － 1 ＜ α， T max i = m + 1，m + 2，…，n ∑ n j = 1 aij ＜ 1． 证明: 当 α ＞ 1 且 α2 T2 max i = 1，2，…，m∑ n j = 1 aij ＜ α2 T － 1 ＜ α， T max i = m + 1，m + 2，…，n ∑ n j = 1 aij ＜ 1 时，W0 为非 负 矩 阵． 令 W = ∑ τmax i = 0 Wi，则 W 为随机矩阵． 对矩阵 In + m － W 作初等行 列变换，得 In + m － W→ Im 0 0 0 Ds － As － Asf 0 － Afs Df － A        f ． 可以看出 rank( In + m － W) = m + rank( L) ． 系统有向拓 扑含有生成树，由引理 1 可知 rank( L) = n － 1，则 rank ( In + m － W) = n + m － 1，矩阵 In + m － W 仅有一个零特 征值，由引理 1 可知以矩阵 W 为邻接矩阵的图包含有 · 641 ·