·600* 北京科技大学学报 第34卷 都有可能将全部属性值为“*”而实际没有相同属 糙集理论进一步应用于实际有着非常重要的意义 性值的对象误判在同一类中. 本文在深入分析几种主要粗糙集扩充模型的基础 在加权阈值容差关系下，取阈值w=0.3时，对 上，提出了基于加权阈值容差关系的粗糙集扩充模 象a1o不为“*”的属性权重和为∑0(b)= 型，在同时考虑属性权重和阈值的情况下确定加权 bePc(a1o) 阈值容差类.该模型是对容差关系、限制容差关系、 w(c)=0.28<w,不可能再与其他任何对象同属于 联系度容差关系和？限制容差关系的改进和推广， 一个类中，独自属于一个加权阈值容差类，即 [ao]Ta》={ao},ao被从论域U中排除.剩余各 适应性更强.属性权重基于不完备信息系统的信息 量确定，不需引入系统外知识，比较客观，而阈值ω 对象的加权阈值容差类分别为 [a]er=(a,an,anl, 的引入又兼顾了人的主观要求，可以根据具体问题 a]Ta》=a]Ta》={a2,a}, 来调整ω的取值，以取得更好的应用效果.该模型 a4]Ta》=a]Ta》={a4,a5,a1,a}, 还能预先排除因自身不满足阈值要求而不可能与任 []Ta》-{as}, 何其他对象判定为同一类的对象，但不影响加权阈 [a,]Ta.》={a,ag}, 值容差类的完整性，且能保证加权阈值容差类的自 [a]Ta》={ag}, 反性和对称性.实例对比分析表明，与其他几种主 要模型相比，本文提出的粗糙集扩充模型具有更强 [,]Ta》={aaaa2}, 的适应能力 [an]Ta》={a1,a4,a5,g,a1,a2}, [an]=(aaasaan,a). 参考文献 与联系度容差关系和？限制容差关系相比，加 [1]Pawlak Z.Rough sets.Int J Comput Inf Sci,1982,11(5):341 权阈值容差关系不仅考虑了属性的权重，而且可以 2]Pawlak Z.Al and intelligent industrial applications:the rough set 将不满足加权阈值条件的对象预先排除，但不影响 perspective.Cybern Syst,2000,31(3):227 类的完整性，类的判定更为合理.下面以几个对象 B]Xie G,Zhang J L.Group decision-making for risk avoidance in 为例说明. sofware project bidding based on VPRS.Chin J Manage Sci, 2006,14(2):71 (1)a1o只有属性c1具有明确值，不为“*”的 (谢刚，张金隆.基于VPRS的软件项目投标风险规避群决策 属性权重和即为属性c1的权重0.28，小于阈值w= 研究.中国管理科学，2006,14(2)：71) 0.3,根据定理2可知，应该被预先排除，独自属于一 4 Hirano S,Tsumoto S.Segmentation of medical images based on 个加权阈值容差类. approximations in rough set theory Proceedings of the Third In- (2)a1只有属性C2具有明确值，不为“*”的 ternational Conference on Rough Sets and Current Trends in Compu- 属性权重和即为属性2的权重0.32，大于阈值w= ting.Malvern,2002:554 5 0.3,根据定理2不应该被预先排除，最终结果是其 Song X Y,Liu F,Sun H L Autonomous threshold selection based on rough set theory in clustering algorithm.Syst Eng Electron, 被判定为分别属于a1,a4,a5,ag,a1和a2的加权阈 2010,32(1):192 值容差类中 (宋晓宇，刘锋，孙焕良.基于粗糙集的聚类算法中阈值自动选 (3)a,的加权阈值容差类为{a,ag,a1,a2}, 取.系统工程与电子技术，2010,32(1)：192) 与其r限制容差类{a,ag,a2}相比多a1,这是因为 6] Wojcik Z M.Detecting spot s for NASA space programs using 虽然a,和a,只有属性c2取值明确相同，但是由于 rough sets /Proceedings of the Second International Conference on c2的权重较大，w(c2)=0.32,大于阈值w=0.3,所 Rough Sets and Current Trends in Computing.Banff,2000:531 [7]Wang G Y,Yao YY,Yu H.A survey on rough set theory and ap- 以a,被判定在ag的加权阈值容差类中.ag的加权 plications.Chin JComput,2009.32(7):1229 阈值容差类与其联系度容差类{a,a12}相比多a, (王国胤，姚一豫，于洪.粗糙集理论与应用研究综述.计算机 和a11,这不仅是由于属性权重的影响，还因为a,和 学报，2009,32(7)：1229) a1由于阈值a1=0.51的限制在联系度容差类中已 8 Wang G Y,Guan L H,Hu F.Rough set extensions in incomplete 经被预先删除了，联系度容差类{ag,a12}是不完整 information systems.Front Electr Electron Eng China,2008,3 的.显而易见，与联系度容差类和T限制容差类相 (4):399 ] 比，αg的加权阈值容差类更完整，更合理. Kryszkiewicz M.Rough set approach to incomplete information system.Inf Sci,1998,112(1-4):39 4结论 [10]Stefanowski J,Tsoukiis A.On the extension of rough sets under incomplete information /Proceedings of the Seventh International 粗糙集模型在不完备信息系统的扩充，对于粗 Workshop on New Directions in Rough Sets,Data Mining,and北 京 科 技 大 学 学 报 第 34 卷 都有可能将全部属性值为“* ”而实际没有相同属 性值的对象误判在同一类中． 在加权阈值容差关系下，取阈值 ω = 0. 3 时，对 象 a10不为“* ”的属性权重和为 b∈ ∑PC( a10) w ( b) = w( c1 ) = 0. 28 ＜ ω，不可能再与其他任何对象同属于 一个 类 中，独自属于一个加权阈值容差类，即 ［a10］WT( 0. 3) C = { a10 } ，a10被从论域 U 中排除． 剩余各 对象的加权阈值容差类分别为 ［a1］WT( 0. 3) C = { a1，a11，a12 } ， ［a2］WT( 0. 3) C =［a3］WT( 0. 3) C = { a2，a3 } ， ［a4］WT( 0. 3) C =［a5］WT( 0. 3) C = { a4，a5，a11，a12 } ， ［a6］WT( 0. 3) C = { a6 } ， ［a7］WT( 0. 3) C = { a7，a9 } ， ［a8］WT( 0. 3) C = { a8 } ， ［a9］WT( 0. 3) C = { a7，a9，a11，a12 } ， ［a11］WT( 0. 3) C = { a1，a4，a5，a9，a11，a12 } ， ［a12］WT( 0. 3) C = { a1，a4，a5，a9，a11，a12 } ． 与联系度容差关系和 τ 限制容差关系相比，加 权阈值容差关系不仅考虑了属性的权重，而且可以 将不满足加权阈值条件的对象预先排除，但不影响 类的完整性，类的判定更为合理． 下面以几个对象 为例说明． ( 1) a10只有属性 c1 具有明确值，不为“* ”的 属性权重和即为属性 c1 的权重 0. 28，小于阈值 ω = 0. 3，根据定理 2 可知，应该被预先排除，独自属于一 个加权阈值容差类． ( 2) a11只有属性 c2 具有明确值，不为“* ”的 属性权重和即为属性 c2 的权重 0. 32，大于阈值 ω = 0. 3，根据定理 2 不应该被预先排除，最终结果是其 被判定为分别属于 a1，a4，a5，a9，a11和 a12的加权阈 值容差类中． ( 3) a9 的加权阈值容差类为{ a7，a9，a11，a12 } ， 与其 τ 限制容差类{ a7，a9，a12 } 相比多 a11，这是因为 虽然 a11和 a9 只有属性 c2 取值明确相同，但是由于 c2 的权重较大，w( c2 ) = 0. 32，大于阈值 ω = 0. 3，所 以 a11被判定在 a9 的加权阈值容差类中． a9 的加权 阈值容差类与其联系度容差类{ a9，a12 } 相比多 a7 和 a11，这不仅是由于属性权重的影响，还因为 a7 和 a11由于阈值 α1 = 0. 51 的限制在联系度容差类中已 经被预先删除了，联系度容差类{ a9，a12 } 是不完整 的． 显而易见，与联系度容差类和 τ 限制容差类相 比，a9 的加权阈值容差类更完整，更合理． 4 结论 粗糙集模型在不完备信息系统的扩充，对于粗 糙集理论进一步应用于实际有着非常重要的意义． 本文在深入分析几种主要粗糙集扩充模型的基础 上，提出了基于加权阈值容差关系的粗糙集扩充模 型，在同时考虑属性权重和阈值的情况下确定加权 阈值容差类． 该模型是对容差关系、限制容差关系、 联系度容差关系和 τ 限制容差关系的改进和推广， 适应性更强． 属性权重基于不完备信息系统的信息 量确定，不需引入系统外知识，比较客观，而阈值 ω 的引入又兼顾了人的主观要求，可以根据具体问题 来调整 ω 的取值，以取得更好的应用效果． 该模型 还能预先排除因自身不满足阈值要求而不可能与任 何其他对象判定为同一类的对象，但不影响加权阈 值容差类的完整性，且能保证加权阈值容差类的自 反性和对称性． 实例对比分析表明，与其他几种主 要模型相比，本文提出的粗糙集扩充模型具有更强 的适应能力． 参 考 文 献 ［1］ Pawlak Z． Rough sets． Int J Comput Inf Sci，1982，11( 5) : 341 ［2］ Pawlak Z． AI and intelligent industrial applications: the rough set perspective． Cybern Syst，2000，31( 3) : 227 ［3］ Xie G，Zhang J L． Group decision-making for risk avoidance in software project bidding based on VPRS． Chin J Manage Sci， 2006，14( 2) : 71 ( 谢刚，张金隆． 基于 VPRS 的软件项目投标风险规避群决策 研究． 中国管理科学，2006，14( 2) : 71) ［4］ Hirano S，Tsumoto S． Segmentation of medical images based on approximations in rough set theory / / Proceedings of the Third In￾ternational Conference on Rough Sets and Current Trends in Compu￾ting． Malvern，2002: 554 ［5］ Song X Y，Liu F，Sun H L． Autonomous threshold selection based on rough set theory in clustering algorithm． Syst Eng Electron， 2010，32( 1) : 192 ( 宋晓宇，刘锋，孙焕良． 基于粗糙集的聚类算法中阈值自动选 取． 系统工程与电子技术，2010，32( 1) : 192) ［6］ Wojcik Z M． Detecting spot s for NASA space programs using rough sets / / Proceedings of the Second International Conference on Rough Sets and Current Trends in Computing． Banff，2000: 531 ［7］ Wang G Y，Yao Y Y，Yu H． A survey on rough set theory and ap￾plications． Chin J Comput，2009，32( 7) : 1229 ( 王国胤，姚一豫，于洪． 粗糙集理论与应用研究综述． 计算机 学报，2009，32( 7) : 1229) ［8］ Wang G Y，Guan L H，Hu F． Rough set extensions in incomplete information systems． Front Electr Electron Eng China，2008，3 ( 4) : 399 ［9］ Kryszkiewicz M． Rough set approach to incomplete information system． Inf Sci，1998，112( 1--4) : 39 ［10］ Stefanowski J，Tsoukis A． On the extension of rough sets under incomplete information / / Proceedings of the Seventh International Workshop on New Directions in Rough Sets，Data Mining，and ·600·