第5期 武森等：基于加权阔值容差关系的不完备信息系统粗糙集模型 ·599· BCA,对象集X关于属性子集B的加权阈值容差关 阈值容差关系。由于限制容差关系是对容差关系和 系的上近似BT(X)和下近似BwT(X)分别为 非对称相似关系的改进和推广，联系度容差关系和 BTa()={xlx≠☑，xeU, τ限制容差关系是对限制容差关系的改进和推广， Bw (X)=(l]X,EU). 在文献02-13,16]中已有深入详细的对比分析，所 由上述定义可知BT()=UT 以在此仅将加权阈值容差关系与联系度容差关系和 关于加权阈值容差关系的下述两个定理成立， ?限制容差关系进行比较 证明略 在联系度容差关系下，根据0≤a2≤a,≤1的要 定理1如果IB1=1(记为B={b})且w≠0 求取阈值a1=0.51,a2=0.3,对于属性子集C,a4, 时有(x,y）∈WT(o),则 a5,a,ag,ao和a1由于不为“*”的属性数目在C中 (b(x)=b(y))∧(b(x)≠*)∧(b(y)≠*). 的比例小于0.51被从论域U中删除，剩余对象根 此时若存在b()=*,则]T={. 据两对象取值明确相同属性比例不小于0.3且无明 该定理表明：在只有一个属性且阈值不为0的 确不相同属性值被判定为一类，得到如下联系度容 情况下，如果两个对象同属一个加权阈值容差类，则 差类： 属性取值一定明确相等：如果一个对象属性取值为 P23(a1)={a1,a2}, “*”,则一定独自属于一个加权阈值容差类 P3(a2）=P3(a)={a2,a3}, 定理2记PB(x)={b1b∈B∧b(x)≠*}， pe3(a6)={a6}, X={x1∑o(b)<ω}，则对Hx∈X,有 po3(a)=(ag,an, bePg(x) po3(an)=(a,a,an [x]Wr()=Ix). 上述实例中，联系度容差关系没有考虑属性权 该定理表明：当对象x在属性子集B中不为 重，而且由于阈值的限制，不为“*”的属性数目在 “*”的属性权重和小于ω时，不可能再与其他任何 C中所占比例在0.3,0.51)区间的对象被预先删 对象同属一个加权阈值容差类，只能被判定独自属 除，从而使满足不小于阈值2=0.3要求的联系度 于一个加权阈值容差类中，在判定其他对象的加权 容差类不完整.例如：根据不小于阈值2=0.3的 阈值容差类时可以从论域中将其排除 要求，a,应该被包含在a,的联系度容差类中，但是 2.3加权阈值容差关系模型与其他模型的联系 由于a,根据小于阈值a,=0.51的要求己被删除， 特殊地，当V()=高时，加权阀值容差 因而ag的联系度容差类不完整. 在x限制容差关系下，当阈值r=0.3时，对于 关系即退化为联系度容差关系和？限制容差关系， 属性子集C,所有属性值都对应一致（明确相同或同 但不会出现联系度容差关系中取值明确相同的属性 为“*”)的两对象同属一类，取值明确相同的属性 比例在α2，心，)区间的对象被预先排除的情况，也 比例不小于0.3且无明确不相同属性值的两对象也 不会出现τ限制容差关系中条件比较宽松的第一种 同属一类 情形更进一步地，当V(0)=且0<0≤ Le3(a,）={a1,a2}, n L3(a2)=lL3(a)={a2,a3}, 时，加权阈值容差关系即退化为限制容差关系的第 ILe3(a4)=lL23(a）={a4,a5}, 二种情形，而排除了全部属性为“*”的不同对象被 L3(a6)={a6}, 判定为同属一类的第一种情形：当仙)=高 ILo3 (a)=a,a, 且ω=0时，加权阈值容差关系即退化为容差关系 L83(as)={ag}, 因此，加权阈值容差关系是联系度容差关系、T限制 Le3(ag）={a'ag,a2}, 容差关系、限制容差关系和容差关系的推广：联系度 IL3 (a)=(ao}, 容差关系、？限制容差关系、限制容差关系和容差关 L83(a）={a}, 系都是加权阈值容差关系的特殊情形 Le3(a12)={a1,ag,a12}. 3实例比较分析 从上述实例可知：？限制容差关系也没有考虑 属性权重.在该例中，属性子集C中全部属性为 继续采用计算属性权重的实例表1来分析加权 “*”的对象没有出现.如果有，则无论T如何取值，第 5 期 武 森等: 基于加权阈值容差关系的不完备信息系统粗糙集模型 BA，对象集 X 关于属性子集 B 的加权阈值容差关 系的上近似 BWT( ω) ( X) 和下近似 BWT( ω) ( X) 分别为 BWT( ω) ( X) = { x |［x］WT( ω) B ∩X≠，x∈U} ， BWT( ω) ( X) = { x |［x］WT( ω) B X，x∈U} ． 由上述定义可知 BWT( ω) ( X) = ∪x∈X ［x］WT( ω) B ． 关于加权阈值容差关系的下述两个定理成立， 证明略． 定理 1 如果 | B | = 1( 记为 B = { b} ) 且 ω≠0 时有( x，y) ∈WT( ω) ，则 ( b( x) = b( y) ) ∧( b( x) ≠＊) ∧( b( y) ≠＊) ． 此时若存在 b( z) = * ，则［z］WT( ω) B = { z} ． 该定理表明: 在只有一个属性且阈值不为 0 的 情况下，如果两个对象同属一个加权阈值容差类，则 属性取值一定明确相等; 如果一个对象属性取值为 “* ”，则一定独自属于一个加权阈值容差类． 定理 2 记 PB ( x) = { b | b∈B∧b ( x) ≠＊} ， X = { x b∈ ∑PB( x) w ( b ) ＜ ω } ，则 对 x ∈ X，有 ［x］WT( ω) B = { x} ． 该定理表明: 当对象 x 在属性子集 B 中不为 “* ”的属性权重和小于 ω 时，不可能再与其他任何 对象同属一个加权阈值容差类，只能被判定独自属 于一个加权阈值容差类中，在判定其他对象的加权 阈值容差类时可以从论域中将其排除． 2. 3 加权阈值容差关系模型与其他模型的联系 特殊地，当b∈B w( b) = 1 | B | 时，加权阈值容差 关系即退化为联系度容差关系和 τ 限制容差关系， 但不会出现联系度容差关系中取值明确相同的属性 比例在［α2，α1 ) 区间的对象被预先排除的情况，也 不会出现 τ 限制容差关系中条件比较宽松的第一种 情形． 更进一步地，当b∈B w( b) = 1 | B | 且 0 ＜ ω≤ 1 n 时，加权阈值容差关系即退化为限制容差关系的第 二种情形，而排除了全部属性为“* ”的不同对象被 判定为同属一类的第一种情形; 当b∈B w( b) = 1 | B | 且 ω = 0 时，加权阈值容差关系即退化为容差关系． 因此，加权阈值容差关系是联系度容差关系、τ 限制 容差关系、限制容差关系和容差关系的推广; 联系度 容差关系、τ 限制容差关系、限制容差关系和容差关 系都是加权阈值容差关系的特殊情形． 3 实例比较分析 继续采用计算属性权重的实例表 1 来分析加权 阈值容差关系． 由于限制容差关系是对容差关系和 非对称相似关系的改进和推广，联系度容差关系和 τ 限制容差关系是对限制容差关系的改进和推广， 在文献［12--13，16］中已有深入详细的对比分析，所 以在此仅将加权阈值容差关系与联系度容差关系和 τ 限制容差关系进行比较． 在联系度容差关系下，根据 0≤α2≤α1≤1 的要 求取阈值 α1 = 0. 51，α2 = 0. 3，对于属性子集 C，a4， a5，a7，a8，a10和 a11由于不为“* ”的属性数目在 C 中 的比例小于 0. 51 被从论域 U 中删除，剩余对象根 据两对象取值明确相同属性比例不小于 0. 3 且无明 确不相同属性值被判定为一类，得到如下联系度容 差类: P0. 3 C ( a1 ) = { a1，a12 } ， P0. 3 C ( a2 ) = P0. 3 C ( a3 ) = { a2，a3 } ， P0. 3 C ( a6 ) = { a6 } ， P0. 3 C ( a9 ) = { a9，a12 } ， P0. 3 C ( a12 ) = { a1，a9，a12 } ． 上述实例中，联系度容差关系没有考虑属性权 重，而且由于阈值的限制，不为“* ”的属性数目在 C 中所占比例在［0. 3，0. 51) 区间的对象被预先删 除，从而使满足不小于阈值 α2 = 0. 3 要求的联系度 容差类不完整． 例如: 根据不小于阈值 α2 = 0. 3 的 要求，a7 应该被包含在 a9 的联系度容差类中，但是 由于 a7 根据小于阈值 α1 = 0. 51 的要求已被删除， 因而 a9 的联系度容差类不完整． 在 τ 限制容差关系下，当阈值 τ = 0. 3 时，对于 属性子集 C，所有属性值都对应一致( 明确相同或同 为“* ”) 的两对象同属一类，取值明确相同的属性 比例不小于 0. 3 且无明确不相同属性值的两对象也 同属一类． IL0. 3 C ( a1 ) = { a1，a12 } ， IL0. 3 C ( a2 ) = IL0. 3 C ( a3 ) = { a2，a3 } ， IL0. 3 C ( a4 ) = IL0. 3 C ( a5 ) = { a4，a5 } ， IL0. 3 C ( a6 ) = { a6 } ， IL0. 3 C ( a7 ) = { a7，a9 } ， IL0. 3 C ( a8 ) = { a8 } ， IL0. 3 C ( a9 ) = { a7，a9，a12 } ， IL0. 3 C ( a10 ) = { a10 } ， IL0. 3 C ( a11 ) = { a11 } ， IL0. 3 C ( a12 ) = { a1，a9，a12 } ． 从上述实例可知: τ 限制容差关系也没有考虑 属性权重． 在该例中，属性子集 C 中全部属性为 “* ”的对象没有出现． 如果有，则无论 τ 如何取值， ·599·