·598 北京科技大学学报 第34卷 2基于加权阈值容差关系的粗糙集模型 Sigc(c3)=I(c)-1(C\{c})= 0.712-0.712=0, 2.1不完备信息系统的属性权重 Sigc(c)=I(C)-I(C\e }) 加权阈值容差关系模型基于不完备信息系统信 0.712-0.561=0.151, 息量计算权重，不需引入系统外知识，权重确定比较 0(c1)=0.28, 客观. w(c2)=0.32, 定义1对不完备信息系统S=(U,A,V,f), e(c3）=0, BCA,x]B为x:的容差类，定义信息量为 w(c.)=0.40. 1)=a- 1 ∑1]1. 表1不完备信息表 Table 1 Table of incomplete information 性质10≤1(B)≤1，maxl(B)=1台[x,]g= U d (x;},minl (B)=0]=U. 0 该性质表明：属性子集B的信息量在0,1]区 0 防 间.在B能区分出每一个对象x,i=1,2,…,n时信 息量达到最大，为1：在B不能区分出U中任何对象 时信息量达到最小，为0 么 性质2对于B,CB2CA,有I(B)≤I(B2). 06 么 该性质表明：随着属性子集B中属性的增加， 1 信息量单调递增. 定义2对不完备信息系统S=《U,A,V,f),属 性b∈BCA在B中的重要度定义如下： 么 Sign (b)=I(B)-I(B\(b)). 010 ★ 性质30≤SigB(b)≤1. 么 2 该性质表明：属性b∈BCA在B中的重要度在 a12 0,1]区间.这是因为由性质1可知0≤I(B)≤1及 2.2加权阈值容差关系 0≤I(B\{b})≤1，由性质2可知I(B1{b})≤I(B), 定义3对不完备信息系统S=U,A,V,f), 所以0≤I(B)-I(B\{b})≤1，即0≤SigB(b)≤1. B二A,0≤(b)≤1为属性b在B中的权重，加权阈 b在B中的权重通过重要度归一化后确定，即 值容差关系为 w(b)=- Sigg (b) WT(w)={(x,y）Ix∈UAy∈UAH6.B(b(x)= ∑Siga(b,) 6 *Vb(y)=*Vb(x)=b(y)A∑w(b)≥w}. B 0≤o(b)≤1，∑w(b)=1. 其中， 下面给出不完备信息系统属性权重计算实例 B={b∈B1(b(x)≠*)∧(b(y)≠*)∧ 为了研究比较方便，所用的不完备信息系统为文献 (b(x)=b(y))},0≤w≤1为阈值. 00-13,16]中分析容差关系、量化容差关系、限制 此时，记gTw={y∈U1(x,y）∈WT(w)}为 容差关系、联系度容差关系和？限制容差关系共同 对象x的加权阈值容差类. 采用的实例，如表1所示.其中，U={a1,a2,…, 由定义可知，对象x与y只有在属性子集B中 a2}为论域，为条件属性集，{d}是决策属性集，Vc= 取值明确相同的属性权重和不小于ω且没有明确 {0,1,2,3}为条件属性值集，V={Φ，为决策 不相同的属性值时，才能被判定属于同一类.在实 属性值集 际应用中，可以根据具体问题的实际情况和人的主 1(C)=0.712, 观要求来调整ω的取值，以得到更好的应用效果. Sigc (c)=I(C)-1(C\e})= 显然，加权阈值容差关系是自反的、对称的，但 0.712-0.606=0.106, 不一定是传递的.并且，加权阈值容差关系一般不 Sigc (c2)=I(C)-1(C\e2))= 构成U的划分，而构成U的覆盖. 0.712-0.591=0.121, 定义4对不完备信息系统S=U,A,V,f),北 京 科 技 大 学 学 报 第 34 卷 2 基于加权阈值容差关系的粗糙集模型 2. 1 不完备信息系统的属性权重 加权阈值容差关系模型基于不完备信息系统信 息量计算权重，不需引入系统外知识，权重确定比较 客观． 定义 1 对不完备信息系统 S =〈U，A，V，f〉， BA，［xi ］T B 为 xi 的容差类，定义信息量为 I( B) = n n － 1 － 1 n( n － 1) ∑ n i = 1 |［xi ］T B | ． 性质 1 0≤I( B) ≤1，maxI( B) = 1［xi ］T B = { xi} ，minI( B) = 0［xi ］T B = U． 该性质表明: 属性子集 B 的信息量在［0，1］区 间． 在 B 能区分出每一个对象 xi，i = 1，2，…，n 时信 息量达到最大，为 1; 在 B 不能区分出 U 中任何对象 时信息量达到最小，为 0． 性质 2 对于 B1B2A，有 I( B1 ) ≤I( B2 ) ． 该性质表明: 随着属性子集 B 中属性的增加， 信息量单调递增． 定义 2 对不完备信息系统 S =〈U，A，V，f〉，属 性 b∈BA 在 B 中的重要度定义如下: SigB ( b) = I( B) － I( B \{ b} ) ． 性质 3 0≤SigB ( b) ≤1． 该性质表明: 属性 b∈BA 在 B 中的重要度在 ［0，1］区间． 这是因为由性质 1 可知 0≤I( B) ≤1 及 0≤I( B \{ b} ) ≤1，由性质 2 可知 I( B \{ b} ) ≤I( B) ， 所以 0≤I( B) － I( B \{ b} ) ≤1，即 0≤SigB ( b) ≤1． b 在 B 中的权重通过重要度归一化后确定，即 w( b) = SigB ( b) ∑bi∈B SigB ( bi ) ， 0≤w( b) ≤1，∑b∈B w( b) = 1． 下面给出不完备信息系统属性权重计算实例． 为了研究比较方便，所用的不完备信息系统为文献 ［10--13，16］中分析容差关系、量化容差关系、限制 容差关系、联系度容差关系和 τ 限制容差关系共同 采用的实例，如表 1 所示． 其中，U = { a1，a2，…， a12 } 为论域，为条件属性集，{ d} 是决策属性集，VC = { 0，1，2，3} 为条件属性值集，V{ d} = { Φ，Ψ} 为决策 属性值集． I( C) = 0. 712， SigC ( c1 ) = I( C) － I( C \{ c1 } ) = 0. 712 － 0. 606 = 0. 106， SigC ( c2 ) = I( C) － I( C \{ c2 } ) = 0. 712 － 0. 591 = 0. 121， SigC ( c3 ) = I( C) － I( C \{ c3 } ) = 0. 712 － 0. 712 = 0， SigC ( c4 ) = I( C) － I( C \{ c4 } ) = 0. 712 － 0. 561 = 0. 151， w( c1 ) = 0. 28， w( c2 ) = 0. 32， w( c3 ) = 0， w( c4 ) = 0. 40． 表 1 不完备信息表 Table 1 Table of incomplete information U c1 c2 c3 c4 d a1 3 2 1 0 Φ a2 2 3 2 0 Φ a3 2 3 2 0 Ψ a4 * 2 * 1 Φ a5 * 2 * 1 Ψ a6 2 3 2 1 Ψ a7 3 ＊ ＊ 3 Φ a8 * 0 0 * Ψ a9 3 2 1 3 Ψ a10 1 ＊ ＊ ＊ Φ a11 * 2 ＊ ＊ Ψ a12 3 2 1 * Φ 2. 2 加权阈值容差关系 定义 3 对不完备信息系统 S =〈U，A，V，f〉， BA，0≤w( b) ≤1 为属性 b 在 B 中的权重，加权阈 值容差关系为 WT( ω) = { ( x，y) | x∈U∧y∈U∧b∈B ( b( x) = ＊∨b( y) = ＊∨b( x) = b( y) ) ∧ ∑b∈B' w( b) ≥ω} ． 其中， B' = { b∈B | ( b( x) ≠＊) ∧( b( y) ≠＊) ∧ ( b( x) = b( y) ) } ，0≤ω≤1 为阈值． 此时，记［x］WT( ω) B = { y∈U| ( x，y) ∈WT( ω) } 为 对象 x 的加权阈值容差类． 由定义可知，对象 x 与 y 只有在属性子集 B 中 取值明确相同的属性权重和不小于 ω 且没有明确 不相同的属性值时，才能被判定属于同一类． 在实 际应用中，可以根据具体问题的实际情况和人的主 观要求来调整 ω 的取值，以得到更好的应用效果． 显然，加权阈值容差关系是自反的、对称的，但 不一定是传递的． 并且，加权阈值容差关系一般不 构成 U 的划分，而构成 U 的覆盖． 定义 4 对不完备信息系统 S =〈U，A，V，f〉， ·598·