第5期 武森等：基于加权阔值容差关系的不完备信息系统粗糙集模型 ·597· 拓展了粗糙集理论的应用范围.容差关系认为未知 可能将全为“*”而实际没有相同属性值的对象误 值与任何属性值都相等，可能导致实际没有相同属 判在同一类中；对第二种情形，两个对象只要有一个 性值的对象被误判在同一类中：非对称相似关系因 属性取值明确相同而在其余属性上都有“*”时就 其非对称性，可能使直观上就可以判断相象的对象 被判定在同一类，条件仍然比较宽松，尤其在属性数 因不满足相似关系而被判在不同类中：而量化容差 目很多时更为明显 关系需要知道属性值的概率分布情况，应用有一定 1.2联系度容差关系模型 的困难.针对上述情况，限制容差关系回、联系度 在限制容差关系的基础上，联系度容差关系圆 容差关系)、改进相似关系圆、限制非对称相似关 引入阈值a1和a2(0≤a2≤1≤1).将不为“华”的 系和，限制容差关系6被相继提出，从不同角 属性数目在B中所占比例小于阈值1的对象排除， 度进一步改进和推广了不完备信息系统的粗糙集模 针对剩余对象构成的新论域U根据下式将取值明 型.但是，这些模型仍然存在着一些局限，并且在上 确相同属性比例不小于α2且无明确不相同属性值 述所有不完备信息系统粗糙集扩充模型中都没有考 的两个对象判定为同一类 虑属性权重.在实际问题中各属性的重要度往往不 Pg(x)={y∈U'Iu(x,y）= 同，不考虑属性权重是不符合实际情况的 a+b:,a+b=1,a≥a2}. 本文在详细分析限制容差关系、联系度容差关 其中，a和b分别为x和y在属性子集B上取值明 系和？限制容差关系优势与不足的基础上，提出了 确相同属性比例和取值不明确属性比例. 基于加权阈值容差关系的粗糙集扩充模型.该模型 联系度容差关系通过引入阈值结合人的主观要 发扬了上述模型的优点，并克服了这些模型的局限， 求调整类判定的严格程度，改善了限制容差关系条 是对这些模型的进一步推广.更重要的是加权阈值 件仍然比较宽松的情况而保持了自反性和对称性， 容差关系在不需引入系统外知识的情况下考虑了不 但在联系度容差关系中由于阈值α1的限制，不为 完备信息系统的属性权重，更符合客观实际 “*”的属性数目在B中所占比例在[a2,a1)区间的 1几种主要粗糙集扩充模型 对象在被预先排除之列，从而可能使满足阈值α心，要 求的联系度容差类不完整. 1.1限制容差关系模型 1.3?限制容差关系模型 在深入剖析经典模型容差关系、非对称相似关 r限制容差关系LR(B,r)6引入阈值r(O≤ 系和量化容差关系的基础上，文献2]提出的限制 T≤1)来调整类判定的严格程度，两个对象被判定 容差关系成为后来不完备信息系统扩充模型研究的 为同属一类具体分为两种情形：(1)B中所有属性 重要基础之一 值都对应一致，即取值明确相同或同为“*”；(2)B 对于一个不完备信息系统S=U,A,V,f〉，U= 中取值明确相同属性比例不小于？且无明确不相同 {x1,x2,…,x}是论域，A是属性集，V=UV。是属 属性值 性值集，V。是属性a的值域*”表示属性值未知， ILR(B,T)={(x,y）I∈U×UIH6eB(b(x)= f是信息函数，即对Ha∈A,Hx∈U,有a(x)∈V b(y)V(1Pa(x)nPs(y)I≥lAI×r)A 对BCA,记PB(x)={b1b∈BAb(x)≠*}，则限制 6B（(b(x)≠*)A(b(y)≠*)→ 容差关系回定义为 (b(x)=b(y))}. Vsyeuxu(Lg(x,y）台H6eB(b(x)= τ限制容差关系对限制容差关系进行了改进和 b(y)=*)V((PE(x)nPa(y))A 推广，保持了自反性和对称性，但由于其第一种情形 H6eB（(b(x)≠*)A(b(y）≠*)→ 将所有属性值都对应一致的对象归为一类，所以无 (b(x)=b(y)))) 论，如何取值，它仍然可能将全部属性值为“*”而 限制容差关系Ls(x,y）包括两种情形：(1)x和 实际没有相同属性值的对象误判在同一类中，条件 y在属性子集B上全为“*”；(2)x和y在B上有同 仍然比较宽松 不为“*”的属性且在所有这样的属性上取值相同. 针对上述模型的优势及局限，本文提出基于加 限制容差关系具有自反性和对称性，但不具有传递 权阈值容差关系的粗糙集扩充模型，吸收了这些模 性，在信息系统不包含全为“*”的对象时正好介于 型的优点，摈弃了不足，并在不必引入不完备信息系 容差关系太宽松和非对称相似关系太严格两个极端 统外知识的情况下考虑了属性的权重，更符合实际 之间，优于经典模型.限制容差关系的第一种情形 应用情况.第 5 期 武 森等: 基于加权阈值容差关系的不完备信息系统粗糙集模型 拓展了粗糙集理论的应用范围． 容差关系认为未知 值与任何属性值都相等，可能导致实际没有相同属 性值的对象被误判在同一类中; 非对称相似关系因 其非对称性，可能使直观上就可以判断相象的对象 因不满足相似关系而被判在不同类中; 而量化容差 关系需要知道属性值的概率分布情况，应用有一定 的困难． 针对上述情况，限制容差关系［12］、联系度 容差关系［13］、改进相似关系［14］、限制非对称相似关 系［15］和 τ 限制容差关系［16］被相继提出，从不同角 度进一步改进和推广了不完备信息系统的粗糙集模 型． 但是，这些模型仍然存在着一些局限，并且在上 述所有不完备信息系统粗糙集扩充模型中都没有考 虑属性权重． 在实际问题中各属性的重要度往往不 同，不考虑属性权重是不符合实际情况的． 本文在详细分析限制容差关系、联系度容差关 系和 τ 限制容差关系优势与不足的基础上，提出了 基于加权阈值容差关系的粗糙集扩充模型． 该模型 发扬了上述模型的优点，并克服了这些模型的局限， 是对这些模型的进一步推广． 更重要的是加权阈值 容差关系在不需引入系统外知识的情况下考虑了不 完备信息系统的属性权重，更符合客观实际． 1 几种主要粗糙集扩充模型 1. 1 限制容差关系模型 在深入剖析经典模型容差关系、非对称相似关 系和量化容差关系的基础上，文献［12］提出的限制 容差关系成为后来不完备信息系统扩充模型研究的 重要基础之一． 对于一个不完备信息系统 S =〈U，A，V，f〉，U = { x1，x2，…，xn } 是论域，A 是属性集，V = ∪a∈A Va 是属 性值集，Va 是属性 a 的值域，“* ”表示属性值未知， f 是信息函数，即对a∈A，x∈U，有 a( x) ∈Va ． 对 BA，记 PB ( x) = { b | b∈B∧b( x) ≠＊} ，则限制 容差关系［12］定义为 x，y∈U × U( LB ( x，y) b∈B ( b( x) = b( y) = * ) ∨( ( PB ( x) ∩PB ( y) ≠) ∧ b∈B ( ( b( x) ≠＊) ∧( b( y) ≠＊) → ( b( x) = b( y) ) ) ) ) ． 限制容差关系 LB ( x，y) 包括两种情形: ( 1) x 和 y 在属性子集 B 上全为“* ”; ( 2) x 和 y 在 B 上有同 不为“* ”的属性且在所有这样的属性上取值相同． 限制容差关系具有自反性和对称性，但不具有传递 性，在信息系统不包含全为“* ”的对象时正好介于 容差关系太宽松和非对称相似关系太严格两个极端 之间，优于经典模型． 限制容差关系的第一种情形 可能将全为“* ”而实际没有相同属性值的对象误 判在同一类中; 对第二种情形，两个对象只要有一个 属性取值明确相同而在其余属性上都有“* ”时就 被判定在同一类，条件仍然比较宽松，尤其在属性数 目很多时更为明显． 1. 2 联系度容差关系模型 在限制容差关系的基础上，联系度容差关系［13］ 引入阈值 α1 和 α2 ( 0≤α2≤α1≤1) ． 将不为“* ”的 属性数目在 B 中所占比例小于阈值 α1 的对象排除， 针对剩余对象构成的新论域 U'根据下式将取值明 确相同属性比例不小于 α2 且无明确不相同属性值 的两个对象判定为同一类． Pα2 B ( x) = { y∈U' | u( x，y) = a + bi，a + b = 1，a≥α2 } ． 其中，a 和 b 分别为 x 和 y 在属性子集 B 上取值明 确相同属性比例和取值不明确属性比例． 联系度容差关系通过引入阈值结合人的主观要 求调整类判定的严格程度，改善了限制容差关系条 件仍然比较宽松的情况而保持了自反性和对称性， 但在联系度容差关系中由于阈值 α1 的限制，不为 “* ”的属性数目在 B 中所占比例在［α2，α1 ) 区间的 对象在被预先排除之列，从而可能使满足阈值 α2 要 求的联系度容差类不完整． 1. 3 τ 限制容差关系模型 τ 限制容差关系 ILR( B，τ) ［16］引入阈值τ( 0≤ τ≤1) 来调整类判定的严格程度，两个对象被判定 为同属一类具体分为两种情形: ( 1) B 中所有属性 值都对应一致，即取值明确相同或同为“* ”; ( 2) B 中取值明确相同属性比例不小于 τ 且无明确不相同 属性值． ILR( B，τ) = { ( x，y) |∈U × U|b∈B ( b( x) = b( y) ) ∨( | PB ( x) ∩PB ( y) |≥| A | × τ) ∧ b∈B ( ( b( x) ≠＊) ∧( b( y) ≠＊) → ( b( x) = b( y) ) ) } ． τ 限制容差关系对限制容差关系进行了改进和 推广，保持了自反性和对称性，但由于其第一种情形 将所有属性值都对应一致的对象归为一类，所以无 论 τ 如何取值，它仍然可能将全部属性值为“* ”而 实际没有相同属性值的对象误判在同一类中，条件 仍然比较宽松． 针对上述模型的优势及局限，本文提出基于加 权阈值容差关系的粗糙集扩充模型，吸收了这些模 型的优点，摈弃了不足，并在不必引入不完备信息系 统外知识的情况下考虑了属性的权重，更符合实际 应用情况． ·597·