定理1收敛的数列必定有界 证设Imxn=a,由定义,取ε=1, n→0 则彐N,使得当n>N时恒有xn-a<1 =xn=lxm-atasxn-a+akl+al 记M=max{x1,…,xN,1+al}, 则对一切自然数,皆有xn≤M,故{xn}有界 注意:有界性是数列收敛的必要条件 推论无界数列必定发散定理1 收敛的数列必定有界. 证 lim x a, n n = → 设 由定义, 取 = 1, N, n  N x − a  1, 则 使得当 时恒有 n | x | | x a a | | x a | | a | 1 | a |  n = n − +  n − +  + max{ , , ,1 | |}, 记 M = x1  xN + a n, x M, 则对一切自然数 皆有 n  故 有界. xn 注意：有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散