S112中心势场中的分波法 1.分波法的一般公式 现在假设势场为中心势场V=(r),那么方程就变为 显然,这时f(O,q)变成了f(O),v(r,,q)变成了v(r,0),而且D2是守恒量,所以不妨假设 ∑R(r)B(cosO) 也就是把v分解为不同轨道角动量的叠加。此式中的每一项(一个确定的角动量成分)称为一个分波。 代入方程,发现R(r)满足 1 d(, dR +|k2-() l(+1 r2 dr dr R1=0 ()=() kr 那么1(r)就满足方程: 2+k2-()(1+1) 以及边界条件 在r→∞时,方程是 b2+4=0 它的一般解是 4()=4sin|-n+6 这里为了以后分析问题的方便,把初位相写成了一+可,其中的o当然无法从渐近方程定出,必须 在求出了严格的方程的解以后再取r→∞的极限才能发现。所以在r→∞时有 我们应该拿这个v(r,)与散射波函数的一般形式 对比,得到f(O)的表达式。为此,我们必须把e=e“也按P(cosb)展开。这个展开式是 ek =elkrcose=2(21+1)ij, (kr)P(cos 0), 其中j(和r)是球 Bessel函数。球 Bessel函数j(x)满足方程 J l(+1) 0,(=0,1,2,…) 并且在x=0处有限。当r→∞时,j(k)有渐近公式 从()-)/b、分)§11.2 中心势场中的分波法 1． 分波法的一般公式 现在假设势场为中心势场 V V r = ( ) ，那么方程就变为 2 2 2 2 [ ( )] 0. ( ) ( ) k U r U r V r       + − = =     显然，这时 f ( , )   变成了 f ( )  ，   (r, , ) 变成了   ( , ) r ，而且 2 L 是守恒量，所以不妨假设 0 ( , ) ( ) (cos ), l l l    r R r P  = =  也就是把  分解为不同轨道角动量的叠加。此式中的每一项（一个确定的角动量成分）称为一个分波。 代入方程，发现 ( ) R r l 满足 2 2 2 2 1 ( 1) ( ) 0. l l d dR l l r k U r R r dr dr r     + + − − =         让 ( ) ( ) , l l u r R r kr = 那么 ( ) l u r 就满足方程： 2 2 2 2 ( 1) ( ) 0, l l d u l l k U r u dr r   + + − − =     以及边界条件 ( 0) 0. l u r = = 在 r → 时，方程是 2 2 2 0. l l d u k u dr + = 它的一般解是 ( ) sin , ( ) 2 l l l l u r A kr r     = − + →      这里为了以后分析问题的方便，把初位相写成了 2 l l − +  ，其中的 l  当然无法从渐近方程定出，必须 在求出了严格的方程的解以后再取 r → 的极限才能发现。所以在 r → 时有 ( ) ( ) 1 , sin cos . 2 r l l l l l r A kr P kr      →   ⎯⎯⎯→ − +      我们应该拿这个   (r, ) 与散射波函数的一般形式 ( ) i i e ( , ) e k r r k z r f r    ⎯⎯⎯→ + → 对比，得到 f ( )  的表达式。为此，我们必须把 i i cos e e k z k r  = 也按 (cos ) Pl  展开。这个展开式是 ( ) i i cos e e 2 1 i ( ) (cos ), k z k r l l l l l j kr P  = = +   其中 ( ) l j kr 是球 Bessel 函数。球 Bessel 函数 ( ) l j x 满足方程 2 2 2 2 ( 1) 1 0, ( 0,1, 2, ) l l l d j d j l l j l dx x dx x   + + + − = =     并且在 x = 0 处有限。当 r → 时， ( ) l j kr 有渐近公式 1 ( ) sin , 2 r l l j kr kr kr →     ⎯⎯⎯→ −     这样