·94 北京科技大学学报 2006年第1期 且闭环性能指标满足J≤J“,则称J“为不确定 V(x)=x(t)[A+BK+DF(E+ 广义系统(1)的一个性能上界，而称u·(t)为不 ELK)]TPx(t)+xT(t)PT[A+ 确定广义系统(1)的一个保性能控制律 引理1】给定适当维数的矩阵Y,D和E, BK+DF(E+EK)]x(t)= 其中Y是对称的，则 xT(t)PT[A+BK+DF(E。+ Y+DFE+ETFTDT<O (5) EbK)]+[A+BK+(E。+ 对所有满足FTF≤I的矩阵F成立，当且仅当存 EK)]TPx(t). 在一个常数ε>0，使得 根据条件(6)，对所有的不确定性， Y+EDDT+e-1ETE<0. V(x)<-x(Q+KTRK)x<0 (8) 2保性能控制 由Lyapunov稳定性理论，闭环广义系统(7)是鲁 棒渐近稳定的. 针对给定的不确定广义系统(1)和性能指标 进一步，式(8)两边对时t间从0到∞积分， (2),在基于线性矩阵不等式处理方法上，给出了 并利用系统的渐近稳定性，得到 保性能控制律的一个存在条件. [x(t)Qx(t)+xKTRKx(t)]dt 定理1对不确定广义系统(1)和性能指标， 如果存在矩阵K和形如(4)的矩阵P,使得对所 v(x(t))dt. Jo 有允许的不确定性，有 因此有 Q+KRK+PT[A +BK+DF (E,+EpK)]+ [A+BK+DF(E+EK)]P<0 (6) J-0[xr)0r()+w)Rula≤ 则u(t)=Kx(t)是系统(1)的一个保性能控制 -(0-V(x(0))=V(x(0)=x0P1x10: 律，相应的一个系统性能上界是J·=x0P1x10· 所以，根据定义2，u(t)=Kx(t)是系统(1)的一 证明：如果存在矩阵K和形如(4)的矩阵P, 个保性能控制律，且J'=x0P1x1是相应的闭环 使得对所有允许的不确定性，矩阵不等式(6)成 性能指标的一个上界，由此，定理得证. 立，取控制律u(t)=Kx(t),则相应的闭环广义 注2：定理1中得到的闭环广义系统性能指 系统是 标上界是依赖初始状态的，而在实际应用中，很难 Ex(t)=[A+BK+DF(E+EpK)]x(t) 精确确定系统的初始状态.为了克服这一困难， (7) 假定x10是一个满足E{x10x10}=I的零均值随 考虑到 机向量，此时闭环广义系统性能指标的期望值为： J=EJExi0P10=Trace(P1)=J* PT[A+BK+DF(E+EK)]+[A+BK+ 定理1的条件(6)中包含了不确定矩阵F,因 DF(E+EK)]P<-KTRK-Q<0, 此要检验对所有允许的不确定矩阵F,矩阵不等 由定义1知，闭环广义系统是二次稳定的 式(6)都成立仍然是一件很困难的工作. 选取Lyapunov函数V(r)=xETPx,其中 矩阵P具有形如(4)式的形式，且满足不等式 3保性能控制器的设计 (6),易知ETP=PTE,V(x)关于时间t的导数 定理2如果存在标量e>0,矩阵W和形 ⑧ 如式(4)的矩阵X,使得 AX+BW+(AX+BW)T+eDDT (E,X+EW)T X WT E.X+EW -el 0 0 <0 (9) 0 -Q1 0 W 0 0 -R1 则u'(t)=WX-1x(t)是系统(1)的一个状态反 (A+BK)TP,则矩阵不等式(6)可以写成： 馈保性能控制律，相应的系统性能上界是j≤ Y+PTDF(E,+EbK)+(E+ Trace(X)=J*. ELK)TFT(PTD)T<0. 证明：定义Y+Q+KTRK+PT(A+BK)+ 根据引理1，以上矩阵不等式对所有满足FTF≤北 京 科 技 大 学 学 报 年第 期 且 闭环性 能 指 标 满 足 镇 ’ ， 则 称 ’ 为 不 确 定 广义系统 的一 个性 能上 界 ， 而 称 “ ’ 为 不 确定广义 系统 的一个保性 能控制律 引理 〕 给定适 当维数的矩 阵 ， 和 ， 其 中 是对 称的 ， 则 刀 对所有满足 板 的矩 阵 成立 ， 当且仅 当存 在一个常数 。 ， 使得 。 。 一 保性能控制 针对给 定 的不 确 定 广 义 系统 和 性 能 指 标 ， 在基于线性 矩 阵不 等式 处理 方法 上 ， 给 出 了 保性能控制律的一个存在条件 定理 对 不确定广义 系统 和性 能指 标 ， 如果存在矩 阵 和形 如 的矩 阵 ， 使得 对 所 有允许的不确定性 ， 有 ‘ 只‘ 丑‘ 刀 。 兀 万 份 ‘ 尸 则 “ 二 是 系 统 的 一 个 保性 能控 制 律 ， 相应的一个 系统性能上界是 ’ 二 孤 ，二 。 证明 如果存在矩 阵 和形如 的矩 阵 ， 使得 对所 有允 许 的 不 确 定性 ， 矩 阵不 等 式 成 立 ， 取控制律 ， 则相应 的闭环 广 义 系统是 戈 。 考虑 到 尸 丑‘ 刀 ‘ 」 丑‘ 。 ‘ 一 ‘ ‘ 一 ， 由定义 知 ， 闭环广义 系统是二 次稳定的 选取 函 数 入 ， 其 中 矩 阵 具 有 形 如 式 的形 式 ， 且 满 足 不 等 式 ， 易知 ， 关 于 时 间 的导 数 是 幸 ， 丑‘ 。 ‘ 〕 凡 仁 丑 。 ‘ 」 〔 丑‘ 刀 。 〔 丑 。 ‘ 根据条件 ， 对所有的不确定性 ， 亏 一 ‘ ‘ 由 稳定性理 论 ， 闭环 广 义 系统 是 鲁 棒渐近稳定的 进一步 ， 式 两 边 对 时 间从 到 积分 ， 并利用 系统的渐近稳定性 ， 得到 一 「二 ， 二 二 、 。 ，越 一 幸 ‘ “ ‘ · 因此 有 一 一 仁二 ， 。 二 才 。 ， ，。 ， ，簇 一 一 一 二 二 几 所 以 ， 根据定 义 ， “ ‘ 公 是 系统 的一 个保性 能控制律 ， 且 ’ 二 二 孤 二 ，。 是相应 的闭环 性 能指标的一个上界 由此 ， 定理得证 注 定理 中得 到 的闭环 广 义 系统性 能指 标上界是依赖初始状态的 ， 而在实际应用 中 ， 很难 精确 确 定 系统 的初 始状 态 为 了克服这一 困难 ， 假定 二 ，。 是 一 个 满 足 二 。 二 孔 一 的零 均值 随 机 向量 ， 此时 闭环广义 系统性能指标的期望值为 了 簇 孔 ‘ 定理 的条件 中包含 了不确定矩 阵 ， 因 此要检验对所有允 许 的不 确定矩 阵 ， 矩 阵不 等 式 都成立仍然是一件很 困难的工作 保性能控制器的设计 定理 如果 存在 标 量 。 ， 矩 阵 和 形 如式 的矩 阵 ， 使得 ﹃ … 。 。 一 已 一 一 一 一 广 … ﹄ 则 “ ’ 二 一 ‘ 是 系统 的一个 状 态反 馈保性 能 控 制律 ， 相 应 的 系 统 性 能 上 界 是 蕊 ’ 证明 定义 ‘ 尸 ‘ 十 ， 则矩 阵不等式 可以 写成 。 ‘ 。 尸 根据 引理 ， 以上 矩 阵不 等式 对 所 有 满 足 镇