教案:平面运动方程及其应用 一维 Euclid空间上微分学综合应用之 教案:平面运动方程及其应用 一维 Euclid空间上微分学综合应用之 课程:《数学分析(Ⅰ)》(一年制,面对力学类等 1.知识点(教学内容及其目标概述) 本知识点:平面运动方程及应用。主要内容为基于一维 Euclid空间上微分学,获得平面 轨迹的速度及加速度在自然基下的表达形式,并应用于高架匝道或弯曲轨道设计等实际问题。 理论分析,可作为一维 Euclid空间上微分学的综合应用,涉及基于无限小增量公式处理 复杂函数极限,复合函数链式求导法则,分段函数求导,局部微分同胚存在性定理(反函数 定理),凹凸性,曲率半径及曲率等。实际应用,展现数学在认识自然世界过程中的作为 2.知识要素(教学内容细致目录) 本知识点,包括如下知识要素: ①R2的几何化认识 Ra axel(=12中任一元素x可以表示为:x-x-[小=x+x, 此处{满足[可]=12,称为典则基( canonical basis)3上述xeR2的“列矩阵表示” 和“向量表示”一一对应,我们将此称为“R2的几何化”。 按线性代数有关概念,我们又可有 [] 此处{2,2}满足[,已]非奇异,称为一般基。由此可见,R2的几何化可以基于不同的基,且 非仅限于典则基。 典则基可认为是“最简单的基”而非“最适合的基”;我们应该针对具体问题而选择适合 的基。例如:如下图所示,R2中一块平面四边形的几何表示,选择适当的基可使得坐标取值 按现有认识,我们按“知识点及知识要素”构建知识体系,并决定教学内容及进度,对于各门知识体系,我们先将其归类 成若干“知识点”( knowledge point),而每个知识点又由若干“知识要素”( knowledge element)组成。知识点为认识或 处理相关问题所需的定义、结论以及相关研究思想及方法的知识集合,具有一定独立性或功用性;知识要素即为上述知识集 合的核心内容,以“知识点+知识要素”组织知识体系,有助于澄清知识体系的发展脉络及发展特征 ↑我们始终将数学作为认识自然及非自然世界的系统的思想及方法,而非仅是逻辑过程 第1页共6页教案：平面运动方程及其应用 —— 一维 Euclid 空间上微分学综合应用之一 第 1 页 共 6 页 教案* ：平面运动方程及其应用 —— 一维 Euclid 空间上微分学综合应用之一 课程：《数学分析（Ⅰ）》（一年制，面对力学类等） 1. 知识点（教学内容及其目标概述） 本知识点：平面运动方程及应用。主要内容为基于一维 Euclid 空间上微分学，获得平面 轨迹的速度及加速度在自然基下的表达形式，并应用于高架匝道或弯曲轨道设计等实际问题。 理论分析，可作为一维 Euclid 空间上微分学的综合应用，涉及基于无限小增量公式处理 复杂函数极限，复合函数链式求导法则，分段函数求导，局部微分同胚存在性定理（反函数 定理），凹凸性，曲率半径及曲率等。实际应用，展现数学在认识自然世界过程中的作为 。 2. 知识要素（教学内容细致目录） 本知识点，包括如下知识要素： ① 2  的几何化认识   1 2 2 1,2 i x x i x                     中任一元素 x 可以表示为： 1 1 1 2 2 2 12 1 2 , x x x i i xi xi x x                  ， 此处i i 1 2 ,    满足 12 2   ii I ,      ，称为典则基（canonical basis）。上述 2 x 的“列矩阵表示” 和“向量表示”一一对应，我们将此称为“ 2  的几何化”。 按线性代数有关概念，我们又可有：   11 1 22 2 12 1 2 ˆ , , ˆ x x x x ii ee x x x                     此处e e 1 2 ,    满足e e 1 2 ,    非奇异，称为一般基。由此可见， 2  的几何化可以基于不同的基，且 非仅限于典则基。 典则基可认为是“最简单的基”而非“最适合的基”；我们应该针对具体问题而选择适合 的基。例如：如下图所示， 2  中一块平面四边形的几何表示，选择适当的基可使得坐标取值 * 按现有认识，我们按“知识点及知识要素”构建知识体系，并决定教学内容及进度。对于各门知识体系，我们先将其归类 成若干“知识点”（knowledge point），而每个知识点又由若干“知识要素”（knowledge element）组成。知识点为认识或 处理相关问题所需的定义、结论以及相关研究思想及方法的知识集合，具有一定独立性或功用性；知识要素即为上述知识集 合的核心内容。以“知识点+知识要素”组织知识体系，有助于澄清知识体系的发展脉络及发展特征。 † 我们始终将数学作为认识自然及非自然世界的系统的思想及方法，而非仅是逻辑过程