第8页 5.复合函数的变分运算,其法则和微分运算完全相同,只要简单地将微分法则中的“d”换 成“δ”即可.例如 8F(, y, y) dy ay' Sy 这里注意,引起F变化的原因,是函数y的变分,而自变量x是不变化的.所以,绝对不会出现 (OF/Ox)6x”项 这些运算法则,当然完全可以毫不困难地推广到多元函数的情形 ·作为完整的泛函极值问题,在列出泛函取极值的必要条件、即 Euler- Lagrange方程后,还需 要在给定的定解条件下求解微分方程,才有可能求得极值函数 ·需要注意, Euler- Lagrange方程只是泛函取极值的必要条件,并不是充分必要条件.在给定 的定解条件下, Euler- Lagrange方程的解可能不止一个,它们只是极值函数的候选者.到底 哪一(几)个解是要求的极值函数,还需要进一步加以甄别 ·和求函数极值的情形一样,甄别的方法有两种. ·一种是直接比较所求得的解及其“附近”的函数的泛函值,根据泛函极值的定义加以判断 这种方法不太实用,至少会涉及较多的计算 ·另一种方法是计算泛函的二级变分82J,如果对于所求得的解,泛函的二级变分取正(负 值,则该解即为极值函数,泛函取极小(大).这种方法当然比较简便,但如果二级变分为0 则需要继续讨论高级变分 ·实际问题往往又特别简单:这就是在给定的边界条件下, Euler- Lagrange方程只有一个解, 同时,从物理或数学内容上又能判断,该泛函的极值一定存在,那么,这时求得的唯一解 定就是所要求的极值函数Wu Chong-shi §31.2 ø ù ú ❪ ❫ ☛ 8 ☞ 5. ✌➆✜✬✱✯ï ➅Õ✆ ❘ ❉➉ ❵ s ï ➅Õ➼➽✍✎✆ë✏✑✒✓✔✕✖✗✘ ✙✚ ✛ d ✜✢ ✣ ✛ δ ✜✤✥✦✧★✩ δF(x, y, y0 ) = ∂F ∂y δy + ∂F ∂y0 δy 0 . ✪✫✬✭✩✮✯ F ✰✱✚✲✳✩✴✵✶ y ✚ ✰ ✖ ✩✷ ✸✰✹ x ✴✺✰✱✚ ✦✻✼✩✽✾✺✿❀❁ ✛ (∂F /∂x)δx ✜❂✦ ✪❃❄❅✗✘✩❆❇❈❉✥✼❊✺❋●✓❍■❏❑▲✵✶✚▼◆✦ • ❖P❈◗✚❘✵❙❚❯❱✩❲❳❀❘ ✵❨❙❚✚❩✏❬❭❪✤ Euler–Lagrange ❫❴❵✩❛❜ ✏ ❲❝❞✚ ❞❡❬❭❢❣❡ ✕✖❫❴✩❤✐✥❥❣❦❙❚✵✶✦ • ❜ ✏✬✭✩ Euler–Lagrange ❫❴❧✴❘ ✵❨❙❚✚❩✏❬❭✩ ♠ ✺✴♥✖❩✏❬❭✦❲❝❞ ✚ ❞❡❬❭❢✩ Euler–Lagrange ❫❴✚ ❡✥❥✺♦♣q✩rs❧✴❙❚✵✶✚t✉✈✦ ❏✇ ① ♣ (②) q❡✴✏❣✚❙❚✵✶✩❛❜✏③♣④⑤✼⑥⑦✦ • ⑧ ❣ ✵✶❙❚✚▼◆♣⑨✩⑥⑦✚ ❫ ✗ ✐⑩❶✦ • ♣❶✴❷❸ ❹❺✻❣❦✚❡❻❼ ✛❽❾✜ ✚ ✵✶✚❘✵❚✩❿➀❘ ✵❙❚✚ ❞➁⑤✼➂➃✦ ✪ ❶❫✗ ✺➄➅➆✩➇➈✿➉❻❺❑✚➊❅✦ • ➋♣❶❫✗ ✴ ➊❅❘✵ ✚➌➍✰ ✖ δ 2J ✩★➎✾➏✻❣❦✚❡✩❘ ✵ ✚➌➍✰ ✖ ❨➐ (➑) ❚✩✘➒❡✤P❙❚✵✶✩❘ ✵❨❙➓ (➔) ✦ ✪ ❶❫✗ ❆❇ ❹❺ ✑→✩ ➣ ★➎➌➍✰ ✖ P 0 ✩ ✘ ❜ ✏↔↕➙➛➜➍✰ ✖ ✦ • ➅➝❯❱➞➞➟➠⑦✑✒➡✪➢✴❲❝❞✚➤➥❬❭❢✩ Euler–Lagrange ❫❴❧✐♣q❡✩ ✎➦✩ ➧➨➩➫✶➭ ➯➲➳➟❥➂➃✩➒❘✵ ✚ ❙❚♣❞➵❲✩➸➺✩✪➦❣❦✚➻♣❡♣ ❞ ➢ ✴✻✏❣✚❙❚✵✶✦