再利用8的任意性,就可以导出上面的积函数一定为0 af a af a aF 这就是二元函数情形下,泛函 F(a, y, u, ur, uy)dr dy 取极值的必要条件的微分形式( Euler-Lagra 把这个结果应用到例31.2中,的横振动问就上,就得到使作用量 取极值的必要条件 t a at2P8r2-0, 这正是第13讲导出的,的横振动程. 以上,一元函数和多元函数的泛函极值问题中,都限定了变量函数,端或边界上取 定值,因而变量函数的变分端。或边界上一定公0 式 这种泛函极值问题称为 或定边界根泛函极值问题 知类问题数学上是最单的,而泛又是函的上最常用的 下面以一元函数为例,总结一下能分的几条简单运算法则 1.首先,由极能分是对函数y进行的,独立极自能量x,所以,能分运算,微分微例运算 可交换次重力 d (Sy) 将y/′=(6y) 2.能分运算也是一个线性运算力 8(aF+BG)=aSF+BSG, 其中a,B是常数 3.接计算力就可以得到函数,积的能分法则 6(FG)=(6F)G+F(G). 4.能分运算积分(微分的点运算)也可以交换次重力 8. Fdr=r (SF)dr 这只要把等式两端的定积分写成级数,将可看出Wu Chong-shi ￾✁✂✄☎ ✆ ✝ ✞ ✟ ✠ ✡ 7 ☛ ÚÖ í δu ✱❆➇❘✢ ✧✶✩➠✪◆▼✱ ✶î✜✬❇✿✭ 0 ✢ ∂F ∂u − ∂ ∂x ∂F ∂ux − ∂ ∂y ∂F ∂uy = 0, ✳✧★➞÷✜✬➶â ✞✢✛✜ J[u] = Z Z S F(x, y, u, ux, uy)dx dy ➢ ✺❈ ✱✼➐➣↔✱s ï âã (Euler–Lagrange ❈r) ✲ ➱✳✫✃ö ❍í✑❐ 31.2 è ✢ ✱✣✤✥✦✧◆✢✧❛ ✑Û✝ í ✰ S = Z t1 t0 dt Z x1 x0 1 2 h ρ  ∂u ∂t 2 − T  ∂u ∂x2 i dx ➢ ✺❈ ✱✼➐➣↔ ∂ 2u ∂t2 − T ρ ∂ 2u ∂x2 = 0, ✳Ü★♠ 13 Ý ➠ ✪ ✱ ✢ ✱✣✤✥❈r✲ ❦ ❒Ò➻Þ ➂➚ß ♦ Þ ➂➚❢➁➂✇➽ ✗✘ à✢❽á⑤ ❾ àá➂➚Òâã❷äå❒✈ ⑤➽✢æ⑦ àá➂➚❢àç Òâã❷äå❒➻⑤× 0 ✲ èé➤➥❝❡êëì❧í➥îïðí➥ñò➫➤➥❝❡êë ✲ ó ❞ ✗✘Ò ➚ ô ❒õ✙ ö÷❢ ✢Ö⑦ø Ý õùú❒✙ Üû❢ ✲ ✞▼ ✩❇÷✜✬✭❐✢ü ✃❇ ✞ ✯ ï ✱ý➣✣✤➅Õ❉➉ ✲ 1. ➹ ✽✢ ✎ ❪ ✯ ï ★ ●✜✬ y þÿ✱ ✢￾ ➁ ❪ ✮ ✯✰ x ✢✻✩ ✢ ✯ ï ➅Õ ❵ s ï❇ s✁➅Õ ✶✂✄➘☎✆ δ dy dx = d(δy) dx ❩ δy 0 = (δy) 0 . 2. ✯ ï ➅Õ ❨ ★❇✫◗❘ ➅Õ✆ δ(α F + β G) = α δF + β δG, ❘ è α ❵ β ★➍ ✬✲ 3. ✝✞ÔÕ✆✧✶✩❛ ✑✜✬✟î ✱✯ï ❉➉● δ(F G) = (δF) G + F (δG). 4. ✯ ï ➅Õ ❵îï (s ï ✱✠➅Õ ) ❨ ✶✩✂✄➘☎✆ δ R b a F dx = R b a (δF) dx. ✳ë➐➱✡ã❳✕✱✿îï➇✸❵ ✬❵❩✶✷ ✪✲