312泛函的极值 第6页 仍然约定,u(x,引)在S的边界r上的数值给定,即 ur固定 首先,当然要计算 J[u]=/ F(a, y, u+8u,(u+8u)2,(u+8u)y)dr dy F(a, y, u, uz, uy)dr dy (6u)x,+(6a)y dy +/+( Fdr dy+ 于是,泛函J取极值的必要条件就是泛函的一级变分为0 OF +(6u) ou, dz dy OF a/aF a/dF δudrd Su dz d 利用公式 Pdr +@dy 就能将上面的结果化为 af a af a aF 5Ju Su dz dy+ 根据边界条件,叫r固定,可知 上式右端第二项的线积分为0,所以 af a aF J(u au az aur dyWu Chong-shi §31.2 ø ù ú ❪ ❫ ✡ 6 ☛ Ò❱Ó✿ ✢ u(x, y) ❁ S ✱➔→ Γ ◆ ✱ ✬❈✾✿✢ ❩ u   Γ ❲✿ . ➹ ✽✢ ❁❱➐ÔÕ J[u + δu] − J[u] = Z Z S F (x, y, u + δu, (u + δu)x, (u + δu)y) dx dy − ZZ S F(x, y, u, ux, uy) dx dy = Z Z S h δu ∂ ∂u + (δu)x ∂ ∂ux + (δu)y ∂ ∂uy i F dx dy + 1 2! Z Z S h δu ∂ ∂u + (δu)x ∂ ∂ux + (δu)y ∂ ∂uy i2 F dx dy + · · · , ❪ ★ ✢✛✜ J[u] ➢ ✺❈ ✱✼➐➣↔✧★✛✜✱❇❵✯ ï✭ 0 ✢ δJ[u] = Z Z S h δu ∂F ∂u + (δu)x ∂F ∂ux + (δu)y ∂F ∂uy i dx dy = Z Z S h ∂F ∂u − ∂ ∂x  ∂F ∂ux  − ∂ ∂y  ∂F ∂uy i δu dx dy + ZZ S h ∂ ∂x  ∂F ∂ux δu  + ∂ ∂y  ∂F ∂uy δu i dx dy = 0. Ö í× ã Z Z S ∂Q ∂x − ∂P ∂y  dx dy = Z Γ  Pdx + Qdy  , ➢ Q = ∂F ∂ux δu, P = − ∂F ∂uy δu, ✧✯❩◆▼✱✃öØ ✭ δJ[u] = ZZ S h ∂F ∂u − ∂ ∂x ∂F ∂ux − ∂ ∂y ∂F ∂uy i δu dx dy + Z Γ h − ∂F ∂ux dx + ∂F ∂uy dy i δu. ➫➭➔→➣↔✢ u   Γ ❲✿ ✢ ✶ó δu   Γ = 0, ◆ ãÙ✕♠➞♥✱◗îï✭ 0 ✢✻✩ δJ[u] = ZZ S h ∂F ∂u − ∂ ∂x ∂F ∂ux − ∂ ∂y ∂F ∂uy i δu dx dy = 0