证:原式变形为1+ b 取对数又可变形为 ≤∑qm(1+)。注意到 n- qe,上式又可变形为h1+>h2) 9h/1+。hn2 令 f(x)=l(1+e),由f(x)的凸性即证。 8、设a1>0,凡k>0(=12,…n,k=12,…,m),∑k=1。则: 注:若m=2,记a1=a1,a2=b,p= 己q2’则上式就是 Holder不等式 ∑abk≤△ay(hy",再记4=a1,B=b,不等式又可写成 ∑ABC4y△E),当p=9=2时即得柯西不等式 证:记Ak=∑a,右边即为∏4,不等式变形为 A I ≤1+2+…+nm,及A的 A-A, 定义可知不等式成立。 9、设ak>0,bk>0,p>1。求证 Minkowski不等式 ②(a4+b))%sca)+Cby23 23 证：原式变形为 i qi n i i i q n i i i a b a b   = =          +         + 1 1 1 1 ，取对数又可变形为 ln 1 ln(1 ) i i i q i i a b q a b i  +                 +  。注意到 e i i i i a b q q i i a b  =          ln ， e i i a b i i a b ln = ，上式又可变形为         +       + e  e i i i i i a b i a b q q ln ln ln 1 ln 1 。令 ( ) ln(1 ) x f x = + e ，由 f(x)的凸性即证。 8、设 0 , 0 ( 1,2, , , 1,2, , ) , 1 1   = =  = = m k k i k m k a  i  n k   。则： k k m k n i k i n i m k ak i a      = = = =        1 1 1 1 。 注：若 m=2，记 1 2 1 2 1 , 1 , ,   a i = ai a i = bi p = q = ，则上式就是 H older .. 不等式 ( ) ( ) ( ) ( ) 当 时即得柯西不等式。 再记 不等式又可写成： , 2 , , , 1 1 1 1 1 1 1 1  = =  = =       A B A B p q a b a b A a B b q q i p p i i i q i i p i i q i p i q i p i 证：记Ａk = = n i aki 1 ，右边即为  k Ak  ，不等式变形为： 1 1 2 2 2 1 1 1                          = m m i mi n i i A a A a A a     ， 由于 m m i i mi A a A a A a                             1 2 2 2 1 1 k m mi m i i A A a A a A a   +  ++  ，及 2 2 2 1 1 1 的 定义可知不等式成立。 9、设 ak  0 , bk  0 ， p  1 。求证 Minkowski 不等式： ( ) ( ) ( ) p p k p p k p p ak bk a b 1 1 1 ( + )   + 