4、设a1,a an,为n个正数,证明:∏a2∏ 证:取对数原式变形为∑a血a2Ca)h∏a,),注意到 hn(la, )"sIn( n,只须证∑aha2)之 ),即证 ∑aha1≥(∑a,)h(气“)。为此,设f(x)=xhx,上式可表示为 1∑(a)≥/∑a)。由于f'(x>0,my是凸函数,故而命题成立。 5、设p>0,a8>0(k=1,2,…,n)。求证 Pk Prak n Pk Pk 证:原式可变形为-ln ∑l=22地22),于是 由∫(x)=-lx的凸性可得第一个不等式,由g(x)=hx的凹性可得第二个不等式 6、设p>0,4>0。求证:当0<x<7时sm" x cosx<.p"q V(p+g)p+ 证:原式可变形为 sin x P P+9,取对数又可变形为 sIn xx q In( )<m(—),由g(x)=hnx的凹性即证 p+q p+ q 7、设a>0,b>0,q>0,∑q1=1,则:∏a"+∏bs∏(a+b)。22 22 4、设 a1 ，a2 ，．．．，a n ，为 n 个正数，证明：           =   = = n i i i a n n i i n i a ai a 1 1 1 1 。 证：取对数原式变形为 n ai ai ai ai 1  ln  ( )ln( ) ，注意到 ln( ) ln( ) 1 n a a i n i    ，只须证 ln ( )ln( ) n a a a a i i i i     ，即证 )ln( ) 1 ln ( 1 n a a n a a n i i i i     。为此，设 f (x) = x ln x ，上式可表示为 ) 1 ( ) ( 1  i  ai n f a f n 。由于 f (x)  0 ，f(x)是凸函数，故而命题成立。 5、设 pk  0 , ak  0 （k = 1，2 ,…, n） 。求证：         = = k k k p p a n k k k n k k p p a a p p e k k k ) ln ( 1 1 。 证：原式可变形为       −  ( )ln  ln ( ) 1 ln( ( ) k k k k k k k k k p p a a p p p a p ，于是 由 f (x) = −ln x 的凸性可得第一个不等式，由 g(x) = ln x 的凹性可得第二个不等式。 6、设 p > 0 , q > 0 。求证：当 2 0   x  时 p q p q p q p q p q x x + +  ( ) sin cos 。 证：原式可变形为 p q p q q p q x p x +         +                 sin cos 1 2 2 ，取对数又可变形为 ) 1 ) ln( cos ) ln( sin ln( 2 2 q p q x p q q p x p q p +  + + + ，由 g(x) = ln x 的凹性即证。 7、设 ai > 0 , bi > 0 , qi > 0 , 1 1  = = n i qi , 则： i i qi i n i i n i q i n i q ai b (a b ) 1 1 1  +   + = = =