对任意λ∈[0,1],可用二进制数列{一}逼近,于是由连续性即证得定理 注:定理中f(x)连续性条件不能去掉。否则,即使定理中其他条件都成立,在实数 域内f(x)也不一定是凸函数(参阅史树中编《凸分析》P.72) 范例: 1、若f(x)是区间I上的凸函数,则对I的任一内点x,∫(x),∫"(x)都存在, 而且∫(x)≥f(x)。 证:x<x<,则fx)-/(x)≤f(x)-(x)。当x↑x时,上式左边个 当x2↓x时,上式右边↓,在由单侧导数定义即证。 2、设f(x)是区间I上的凸函数,则在I的任一闭子区间上f(x)有界 证:设[a,bcI,x∈[a,b],取=x-a b-a,则x=(1-)a+Ab, f(x)≤(1-λ)f(a)+Af(b)≤M 此处M=max(f(a),f(b)) +b 再令c 2,x∈[a,b],存在x关于c的对称点x,由f(x)的凸性得到 f(c)</(x)+f(x')e1 ≤-f(x)+M,因此,f(x)≥2f(c)-M=m。 2 3、设f(x)是区间(a,b)上的凸函数,则在(a,b)的任一闭子区间上f(x) 满足 Lipschitz条件。 证:设[a,]c(a,b),取h>0,使得[a-h,B+h]c(a,b)。Vx、 x∈[,B],x1<x.令x=x+h,则f(x)-f(x)f(x2)-f(x2)M-m x3- h f(x2)-f(x1)、f(x)-f(x3) M 又令x3=x1-h,则 因此有 x2-x1 h (x1)-f(x2)≤--x1-x2 h (注:由1知区间上凸函数一定连续,由3知区间上凸函数内闭一致连续。)21 21 对任意   [0，1]，可用二进制数列{ n m 2 }逼近，于是由连续性即证得定理。 注：定理中 f(x)连续性条件不能去掉。否则,即使定理中其他条件都成立，在实数 域内 f(x)也不一定是凸函数（参阅史树中编《凸分析》P.72）。 范例： 1、若 f(x)是区间 I 上的凸函数，则对 I 的任一内点 x ， ( ) , ( ) _ f  x f  x + 都存在， 而且 ( ) ( ) _ f  x  f  x + 。 证：x1 < x < x2 ，则 x x f x f x − − 1 1 ( ) ( )  x x f x f x − − 2 2 ( ) ( ) 。当 x1  x 时，上式左边  ， 当 x2  x 时，上式右边  ，在由单侧导数定义即证。 2、设 f(x)是区间 I 上的凸函数，则在 I 的任一闭子区间上 f(x)有界。 证：设[a，b]  I ， x  [a，b]，取  ＝ b a x a − − ，则 x =（1- ）a +  b , f(x)  （1-  ）f(a) +  f(b)  Ｍ ( 此处Ｍ＝ max(f(a) , f(b)) ) 。 再令 c = 2 a + b ， x  [a，b]，存在 x 关于 c 的对称点 x  ，由 f(x)的凸性得到 f x M f x f x f c 2 1 ( ) 2 1 2 ( ) ( ) ( )  + +   ，因此，f(x)  2 f(c)– Ｍ ＝ ｍ 。 3、设 f(x)是区间（a ，b）上的凸函数，则在（a ，b）的任一闭子区间上 f(x) 满足 Lipschitz 条件。 证：设 [ ,  ]  （a ，b），取 h > 0,使得 [ − h,  + h]  （a ，b）。  x1 、 x2 [ ,  ]，x1 < x2 . 令 x3 = x2 + h ,则 2 1 2 1 ( ) ( ) x x f x f x − −  3 2 3 2 ( ) ( ) x x f x f x − −  h M − m . 又令 x3 = x1 – h ,则 2 1 2 1 ( ) ( ) x x f x f x − −  1 3 3 ( ) ( ) x x f x f x − −  － h M − m ．因此有 1 2 1 2 ( ) ( ) x x h M m f x f x − − −  。 （注：由 1 知区间上凸函数一定连续，由 3 知区间上凸函数内闭一致连续。）