2凸函数及其应用 凸函数定义及其等价形式 设f(x)在区间I上有定义,若对任意x1、x2∈I,λ∈[0,1]成立不等式 f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-A)f(x2) 则称f(x)是区间I上的凸函数 f(x)是区间I上的凸函数当且仅当对任意x1、x2、x∈I,x1<x2<x3,下列不 等式之一成立 1(x)-(x)≤(x)-1(x),(x)-(x)≤f(x)-/(x x2-x1 x3-x1 事实上,设=32-x,则0<<1,且x2=2x+(1-2)x,代入上面任意 式,变形后即得定义形式 定理:若f(x)在区间I上连续,则f(x)是区间I上凸函数的充要条件为:对任意 x1、x2∈I成立 f(x1)+f(x2) 证:只须证明充分性。设n=k≥2时成立 x1+x,+…+x ((x)+f(x2)+…+f(x2) 1x1+…xx,k+……+x,k+t 考察n=k+1的情形:f( )=f( 2(2(f(x)+…+f(x2)+((x)+…(x) ((x)+f(x)+…+f(x…) 设A=m∈[0,1],则1-42- 。注意到kx=x+x+…+x,所以由上 可知∫(x1+(1-4)x2)=f( (2”-m) )≤,(八2”-m20 20 §2 凸函数及其应用 凸函数定义及其等价形式： 设 f(x)在区间 I 上有定义,若对任意 x1 、x2 I ，  [0，1]成立不等式： f(  x1+(1-  )x2)   f(x1)+ (1- )f(x2) 则称 f(x)是区间 I 上的凸函数。 f(x)是区间 I 上的凸函数当且仅当对任意 x1 、x2 、x3 I ，x1 < x2 < x3，下列不 等式之一成立: 3 1 3 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) x x f x f x x x f x f x − −  − − ， 3 2 3 2 3 1 3 1 ( ) ( ) ( ) ( ) x x f x f x x x f x f x − −  − − 。 事实上，设  = 3 1 2 1 x x x x − − ，则 0 <  < 1 ,且 x2 =  x3+(1- )x1 ,代入上面任意 一式,变形后即得定义形式。 定理：若 f(x)在区间 I 上连续，则 f(x)是区间 I 上凸函数的充要条件为：对任意 x1 、x2 I 成立 2 ( ) ( ) ) 2 ( 1 2 1 2 x x f x f x f +  + 。 证：只须证明充分性。设 n = k  2 时成立： ( ( ) ( ) ( )) 2 1 ) 2 ( 1 2 2 1 2 2 k k f x f x f x x x x f k k  + + + + + +   。 考察 n = k+1 的情形： )) 2 2 ( 2 1 ) ( 2 ( 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 k k k k x x k x k x k f x x f + + + + + + = + + + +    1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) 2 2 2 k k k k k k k k k k x x x x f f f x f x f x f x + + + +   + + + +  +        + + + +     ( ( ) ( ) ( )) 2 1 1 1 1 2 2 = + + + + + f x f x f x k k  。 设  ＝ n m 2  [0，1]，则 1-  ＝ n n m 2 2 − 。注意到 kx =   k x + x + + x ，所以由上 可知 ( ) 2 2 ( ) 2 ) 2 (2 ) ( (1 ) ) ( 1 2 1 2 1 2 f x m f x mx m x m f x x f n n n n n −  + + −  + −  =