《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 f(x)在 区间【a,b]上的振幅0=M-m作o,的估计，有o,≤o.此时，倘能用总 长小于 云(0≠0，否则)为常值函数)的有限个小区间复盖这些点，以这有限个 小区间 的端点作为分法T的一部分分点，在区间[a,b]的其余部分作分割，使在每个 小区间 上有0，K20-a ，对如此构造的分法T,有 0-名0a+豆，a,含0a+豆as 5624+24≤6回-0tu品8 定理4（（励可积函数的特征）：设f,)在区间[a,b]上有界. f(x)eR[a,b]一对Vc>0和Ho>0,38>0,使对任何分法T, 只要<6，对应于 0,之6的那些小区间△x,的长度之和∑A如，<o. 证：→)fx)在区间[a,b]上可积，对e>0和o>0,36>0 使对任何分法T,只要T<δ，就有 s∑Ar,≤∑0，Ar,≤∑0，Ar<so,→∑Ar,<o. 对vg>0,37,)0,之8的区间总长小于 。此时有 《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 7 f (x) 在 区间 [ a , b ] 上的振幅  = M − m 作  i 的估计 , 有  i   . 此时, 倘能用总 长小于 ( 0 2     , 否则 f (x) 为常值函数 )的有限个小区间复盖这些点，以这有限个 小区间 的端点作为分法 T 的一部分分点，在区间 [ a , b ] 的其余部分作分割，使在每个 小区间 上有  i < 2(b − a)  , 对如此构造的分法 T , 有 =  n i i i x 1    = − = =  +  m k n m j k k j j x x 1 1   <   = − =  +   − m k n m j k j x x 1 b a 1 2( )     − = =  +  −  n m j j n i i x x b a 1 1 2( )        − + = −  2 ( ) 2( ) b a b a . 定理 4 ( (R)可积函数的特征 )： 设 f (x) 在区间 [ a , b ] 上有界. f (x) R[ a , b ]  对   0 和   0 ,   0 , 使对任何分法 T , 只要 T   , 对应于     i 的那些小区间 i x  的长度之和 xi  . 证： ) f (x) 在区间 [ a , b ] 上可积, 对   0 和   0 ,   0 , 使对任何分法 T , 只要 T   , 就有 xi ixi ixi    ,  xi  . ) 对   0 , T,      i 的区间总长小于 ,   此时有