3页 2单连通区域的 Cauchy定理 Cauchy定理讨论的是积分值与积分路径之间的关系.与涉及的区域有关 区别两种区域 ·单连通区域:在区城中作任何简单闭合围道,围道内的点都属于该区域; 复连通区域,或称多连通区域 图3.2单连通区域与复连通区域 单连通区域的 Cauchy定理如果函数f(2)在单连通区域G中解析,则沿G中任何一个分 段光滑的闭合围道C(见图3.3)有 f(2)dz=0 这里的C也可以是G的边界 图33单连通区域的 Cauchy定理 证为简单起见,下面在更强的条件下证明这个定理.附加的条件是f(z)在石中连续 在此条件下可以应用 Green公式 pv+Q(时=( eQ aP dr dy 于 f fe)d:=f ludr-vdy]+igloo dr+ ud ①只要f(2)在G中解析,即f(2)存在,则f"(2)也存在,z∈G,因而f(2)连续,即四个偏导数aa/x,Ou/Oy,au/0x 和a/oy连续 见后面3.5节￾✁✂ ✄ ☎ ✆ ✝ ✞ 3 ✟ §3.2 ❸❹❺❻❼❽ Cauchy ❾❿ Cauchy ✫➀➁➂✢✘✖✗❈❁✖✗st➃➄✢❅➅✤❁➆➇✢➈➉✪❅✤ ➈➊❏➋➈➉❨ • ➌➍➎➏➐ ❨➑ ➒➓ ➔→➣↔ ↕➙ ➛➜ ➝➞✧➝➞ ➟➠➡➢➤➥➦ ➒➓❛ • ➧➍➎➏➐ ✧➨➩ ➫➭➯ ➒➓✤ ❋ 3.2 ➲➳➵➸➺➻➼➳➵➸➺ ➌➍➎➏➐➽ Cauchy ➾➚ ❖P★✙ f(z) ✩➪❙➶➈➉ G ❭➹➘✧❆ ❉ G ❭ ✮➴✴●✗ ✲◗❘✢➷▼ ➬➮ C(➱✃ 3.3) ✪ I C f(z) dz = 0, ❐❒✢ C ❮❰Ï✘ G ✢Ð❝✤ ❋ 3.3 ➲➳➵➸➺Ñ Cauchy ÒÓ Ô ✱Õ➪Ö➱✧q✛✩×Ø✢ÙÚqÛ Ü❐● ✫➀✤ÝÞ✢ÙÚ✘ f 0 (z) ✩ G ❭❙❚ ß ✤ ✩ ✼ÙÚq❰Ïàá Green âã I C P(x, y) dx + Q(x, y) dy = Z Z S  ∂Q ∂x − ∂P ∂y  dx dy ❥ I C f(z) dz = I C u dx − v dy + i I C v dx + u dy , ß äå f(z) æ G çèéêë f 0 (z) ìæêí f 00(z) îìæê z ∈ G ê ïð f 0 (z) ➳ñêëòóôõö ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂v/∂x ÷ ∂v/∂y ➳ñø ùúû 3.5 ü