32单连通区域的 Cauchy定理 而将上面的闭合围道积分化为面积分 dr dy udr+u drd 根据 cauchy- Riemann方程,右端两个积分中的被积函数均为0,故有 f(2)dz=0.口 由于 Green公式的要求,这里所说的单连通区域,只能是一个有界区域,即不能是包含∞点 在内的(无界)区域.即使∫(z)在∞点解析,它绕∞点一周的积分也可以并不为0 Cauchy定理从一个侧面反映了解析函数的一个基本特性:解析函数在它的解析区域内,各 的函数值是密切相关的 · Cauchy- Riemann方程是这种关联的微分形式 · Cauchy定理则是它的积分形式 由 Cauchy定理立即可以得到下面的推论 推论若f(2)在单连通区域石中解析,则复变积分/f(2)d与路径无关 解析函数的)不定积分既然在单连通区域中解析函数的积分与路径无关,因此,如果固定 起点20,而令终点z为变点,则作为积分上限的函数, f(zdz= F(a 是单连通区域G内的单值函数,称为f(x2)的不定积分 定理31如果函数f(x)在单连通区域G内解析,则 F(2)=/f(x) 也在G内解析,并且 F()=af()d2=f(3 证只要直接求出F(2)的导数即可 图35§3.2 ýþÿ￾✁✂ Cauchy ✄☎ ✞ 4 ✟ ✆✝✜✛✢➷▼ ➬➮✖✗✞✱✛✖✗ I C ￾ u dx − v dy
= − ZZ S  ∂v ∂x + ∂u ∂y  dx dy, I C ￾ v dx + u dy
= ZZ S  ∂u ∂x − ∂v ∂y  dx dy. ✟✠ Cauchy-Riemann ✡☛✧☞ ❧ ❏ ● ✖✗ ❭✢❦ ✖★✙✌✱ 0 ✧✍✪ I C f(z) dz = 0. ⑦❥ Green âã✢✎ ⑤ ✧❐❒✏✑✢ ➪ ❙➶➈➉✧✒✓✘ ✴●✪❝➈➉✧♦①✓✘✔✕ ∞ ✳ ✩ ✖ ✢ (❄❝ ) ➈➉✤ ✗✘ f(z) ➑ ∞ ➡✙✚✧✛✜ ∞ ➡✢✣➠✤✥✦✧ ★✩✪✫ 0 ✤ Cauchy ✫➀✬ ✴●✭ ✛✮✯✰➹➘★✙✢✴●❯❱✱❲❨ ✙✚✲✳➑✛➠✙✚ ➒➓ ➟✧✴ ➡➠✲✳✵✶ ✷✸✹ ✺➠✤ • Cauchy-Riemann ✡☛✘❐➋❅✻✢✼✗✽ ã ✧ • Cauchy ✫➀❆✘✾✢✖✗✽ ã ✤ ⑦ Cauchy ✫➀✿♦ ❰Ï✺❀q✛✢❁➂❨ ❂❃ ✷ f(z) ✩➪❙➶➈➉ G ❭➹➘✧❆✔✕✖✗ Z C f(z) dz ❁st❄❅✤ (❷❄❅❆➽) ❇➾❈❉ ❊ ❣ ✩➪❙➶➈➉ ❭➹➘★✙✢✖✗❁st❄❅✧◆✼✧❖P ✇✫ Ö ✳ z0 ✧✆❋●✳ z ✱✕✳✧❆✵✱✖✗✜✾✢★✙✧ Z z z0 f(z) dz = F(z) ✘ ➪ ❙➶➈➉ G ✖ ✢ ➪ ❈★✙✧❇✱ f(z) ✢①✫✖✗✤ ➾➚ 3.1 ❖P★✙ f(z) ✩➪❙➶➈➉ G ✖ ➹➘✧❆ F(z) = Z z z0 f(z) dz ❮✩ G ✖ ➹➘✧❍❀ F 0 (z) = d dz Z z z0 f(z) dz = f(z). Ô ✒✎ ❶■⑤❏ F(z) ✢❑✙♦❰ ✤ ❋ 3.5