第四讲(二)无穷级数 第11页 §4.6一致收敛级数性质的证明 1.连续性如果uk(x)在G内连续,级数∑uk(x)在G内一致收敛,则其和函数S(x) k=1 ∑ak(2)也在G内连续 k=1 证设20为G内一点, S(z)-S(20) =|S(x)-Sn(2)+Sn(2)-Sn(20)+Sn(20)-S(20 ≤|S(2)-Sn(2)+|Sn(2)-Sn(20)+|S(x0)-Sn(20) 根据级数∑uk(2)的一致收敛性可知,任给ε>0,总可以找到N(),使当n>N()时, ()-Sa(3l3,|s(a)-S(0)< 又因Sn(2)=∑uk(2)是G内的连续函数,故对于同一个c>0,总存在6>0,使当|2-20<6 Sn(2)-Sn(20)≤ 综合以上结果,就得到:对于任给的c>0,存在6>0,只要|2-20<6,就有 S(2)-S(20)<E S(2)在20点连续。由于20∈G任意,所以S(2)在G内连续口 2.逐项求积分设C是区域G内的一条分段光滑曲线,如果uk(2)(k=1,2.…)是C上的 连续函数,则对于C上一致收敛的级数()可以逐项求积分 ∑(=∑/(2)d2 证根据性质1知∑u()是曲线C上的连续函数,故积分/∑u(存在,而有 uk(=)dx+/Rn(z)d uk(=)dx+/Rn(a)dz, 其中Rn(2)=S(2)-S(2)=∑uk(3),根据级数的一致收敛性,对于任给的E>0,存在N()>0 只要n>N(),就有 S(2)-Sn(x)=|Rn(2)<E.Wu Chong-shi st✉ (✈) ✇ ① ❞ ❝ ❡ 11 ❢ §4.6 ②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩❶❷ 1. ✌✍✎ ✏✑ uk(z) ✒ G ✓✔✕✖✗✘ P∞ k=1 uk(z) ✒ G ✓✙✚✛✜✖✢✣✤✥✘ S(z) = P∞ k=1 uk(z) ✦✒ G ✓✔✕✧ ❸ ❊ z0 ❹ G ✓✙❺✖ |S(z) − S(z0)| = |S(z) − Sn(z) + Sn(z) − Sn(z0) + Sn(z0) − S(z0)| ≤ |S(z) − Sn(z)| + |Sn(z) − Sn(z0)| + |S(z0) − Sn(z0)|. ❻❼✗✘ Puk(z) ✰✙✚✛✜✪ ✵❽✖❥❾ ε > 0 ✖❿✵✶➀❤ N(ε) ✖➁➂ n > N(ε) ➃✖ |S(z) − Sn(z)| < ε 3 , |S(z0) − Sn(z0)| < ε 3 . ➄➅ Sn(z) = Pn k=1 uk(z) ✴ G ✓✰✔✕✥✘✖➆P◗➇✙✩ ε > 0 ✖❿➈✒ δ > 0 ✖➁➂ |z − z0| < δ ➃✖ |Sn(z) − Sn(z0)| < ε 3 . ➉➊✶❖➋✑✖➌❣❤☞ P◗❥❾✰ ε > 0 ✖➈✒ δ > 0 ✖➍➎ |z − z0| < δ ✖➌➏ |S(z) − S(z0)| < ε. S(z) ✒ z0 ❺✔✕✧❛◗ z0 ∈ G ❥➐✖➑✶ S(z) ✒ G ✓✔✕✧ 2. ❅❆❇❈❉ ❊ C ✴❋● G ✓✰✙❍■❏❑▲ ▼◆✖✏✑ uk(z) (k = 1, 2, · · ·) ✴ C ❖✰ ✔✕✥✘✖✢P◗ C ❖✙✚✛✜✰✗✘ P∞ k=1 uk(z) ✵✶✷✲✸❘■ Z C X∞ k=1 uk(z)dz = X∞ k=1 Z C uk(z)dz. ❸ ❻❼✪✫ 1 ❽ P∞ k=1 uk(z) ✴ ▼◆ C ❖✰✔✕✥✘✖➆❘■ Z C P∞ k=1 uk(z)dz ➈✒✖➒➏ Z C X∞ k=1 uk(z)dz = Z C Xn k=1 uk(z)dz + Z C Rn(z)dz = Xn k=1 Z C uk(z)dz + Z C Rn(z)dz, ✣ ❲ Rn(z) = S(z)−Sn(z) = P∞ k=1 uk(z) ✧ ❻❼✗✘✰✙✚✛✜✪ ✖P◗❥❾✰ ε > 0 ✖➈✒ N(ε) > 0 ✖ ➍➎ n > N(ε) ✖➌➏ |S(z) − Sn(z)| = |Rn(z)| < ε.